2003年考研數(shù)學(xué)四

2003年考研數(shù)學(xué)四詳細介紹如下，希望可以幫助到您：
一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）
1???xcos,若x?0,（1）設(shè)f(x)?? 其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則?的取值范圍是x若x?0,??0,
（2）已知曲線y?x3?3a2x?b與x軸相切，則b可以通過a表示為b?________.
（3）設(shè)a>0，f(x)?g(x)??22?a,若0?x?1,而D表示全平面，則I???f(x)g(y?x)dxdy=_______. ?0,其他，D
（4）設(shè)n維向量??(a,0,?,0,a)T,a?0；E為n階單位矩陣，矩陣
T A?E???， B?E?1??T， a
其中A的逆矩陣為B，則a=______.
（5）設(shè)隨機變量X 和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9, 若Z?X?0.4，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為________.
（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2,?,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，則當n??
1n2時，Yn??Xi依概率收斂于______. ni?1
二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）
（1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且f?(0)存在，則函數(shù)g(x)?f(x) x
(A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點x=0.
(C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點x=0. [ ]
（2）設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是
(A) f(x0,y)在y?y0處的導(dǎo)數(shù)等于零. （B）f(x0,y)在y?y0處的導(dǎo)數(shù)大于零.
(C) f(x0,y)在y?y0處的導(dǎo)數(shù)小于零. (D) f(x0,y)在y?y0處的導(dǎo)數(shù)不存在.
[ ]
（3）設(shè)pn??an?an2
n，qn??an?an2?n，n?1,2,?，則下列命題正確的是 (A) 若?a
n?1
?條件收斂，則?pn?1?與?qn?1?n都收斂.
(B) 若?a
n?1n絕對收斂，則?pn?1n與?qn?1n都收斂.
(C) 若?a
n?1
??n條件收斂，則?pn?1??n與?qn?1??n斂散性都不定.
(D) 若?a
n?1n絕對收斂，則?pn?1n與?qn?1n斂散性都不定. [ ]
?abb???（4）設(shè)三階矩陣A?bab，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有 ????bba??
(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b?0.
(C) a?b且a+2b=0. (D) a?b且a+2b?0. [ ]
（5）設(shè)?1,?2,?,?s均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是
(A) 若對于任意一組不全為零的數(shù)k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，則?1,?2,?,?s
線性無關(guān).
(B) 若?1,?2,?,?s線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)k1,k2,?,ks，都有
k1?1?k2?2???ks?s?0.
(C)
(D) ?1,?2,?,?s線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s. ?1,?2,?,?s線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān). [ ]
（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A1={擲第一次出現(xiàn)正面}，A2={擲第二次出現(xiàn)正面}，A3={正、反面各出現(xiàn)一次}，A4={正面出現(xiàn)兩次}，則事件
(A) A1,A2,A3相互獨立. (B) A2,A3,A4相互獨立.
(C) A1,A2,A3兩兩獨立. (D) A2,A3,A4兩兩獨立. [ ]
三、（本題滿分8分）
設(shè)
f(x)?1111??,x?[,1). ?xsin?x?(1?x)2
1
2試補充定義f(1)使得f(x)在[,1]上連續(xù).
四 、（本題滿分8分）
12?2f?2fg(x,y)?f[xy,(x?y2)],求??1設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又222?u?v
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?2g?2g?2. 2?x?y
五、（本題滿分8分）
計算二重積分
I???e
D?(x2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.
22其中積分區(qū)域D={(x,y)x?y??}.
六、（本題滿分9分） x2n
求冪級數(shù)1??(?1)(x?1)的和函數(shù)f(x)及其極值. 2nn?1?n
七、（本題滿分9分）
設(shè)F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在(??,??)內(nèi)滿足以下條件：
f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex.
(1) 求F(x)所滿足的一階微分方程；
(2) 求出F(x)的表達式.
八、（本題滿分8分）
設(shè)函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在??(0,3)，使f?(?)?0.
九、（本題滿分13分）
已知齊次線性方程組
?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn?? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn
其中?0,?0,?0, ?0,?a
i?1ni?0. 試討論a1,a2,?,an和b滿足何種關(guān)系時，
(1) 方程組僅有零解；
(2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系.
十、（本題滿分13分）
設(shè)二次型
22f(x1,x2,x3)?XTAX?ax12?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，
中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12.
(1) 求a,b的值；
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(2) 利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣. 十一、（本題滿分13分）
設(shè)隨機變量X的概率密度為
?1
f(x)???,若x?[1,8],
?30x2
?,其他;
F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).
十二、（本題滿分13分）
設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為
X~???12?
?0.30.7???，
而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).
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