2022年黑龍江大學(xué)高等代數(shù)碩士研究生考研大綱及參考書目 正文

考試科目名稱：高等代數(shù)    考試科目代碼：[820]
一、考試內(nèi)容及要求
一、行列式
1．內(nèi)容：行列式概念及性質(zhì)，行列式按行(列)展開。
2．要求：
①理解數(shù)域的概念，掌握常見的數(shù)域和最小數(shù)域。
②理解n階行列式的定義，掌握行列式性質(zhì)。
③能用行列式定義、性質(zhì)(包括按行(列)展開的性質(zhì))遞推及歸納法等計算行列式。
二、矩陣
1．內(nèi)容：矩陣的概念，矩陣運算，逆矩陣和克萊姆法則，分塊矩陣，初等變換和初等陣，矩陣的等價分解，矩陣的秩，初等塊矩陣及等價分解的應(yīng)用。
2．要求：
①理解矩陣概念及相關(guān)運算法則，能熟練地進行矩陣的相關(guān)運算，掌握行列式乘法定理。
②理解逆矩陣的概念，掌握伴隨矩陣求逆方法，掌握矩陣可逆充要條件并用于判別，理解克萊姆法則并用于求解線性方程組。
③了解分塊矩陣的運算法則，準確用于計算。
④理解三種初等變換及相應(yīng)的初等陣，了解初等陣是可逆陣的乘法生成元。
⑤理解矩陣的等價分解，理解矩陣秩的定義，能用初等變換求矩陣秩及逆矩陣。
⑥能利用等價分解、分塊矩陣、初等矩陣及歸納法等解決一些矩陣分解，求秩相關(guān)的計算和證明問題。
三、n維向量與線性方程組
1．內(nèi)容：n維向量，向量的線性相關(guān)性，向量組的秩，消去法解線性方程組，線性方程組解的判定，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。
2．要求：
①掌握n維向量線性表出，線性相關(guān)，線性無關(guān)的概念，能進行判別及相關(guān)的證明。
②理解向量組的秩，矩陣的三秩相等定理，掌握向量組的秩以及極大無關(guān)組的概念，會求極大無關(guān)組以及向量組的秩。
③能用消去法解線性方程組，特別能對帶參數(shù)的方程組進行解的情況的討論。
④掌握齊次方程組基礎(chǔ)解系定理，一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理，并能用于解決有關(guān)問題。
四、特征值與特征向量
1．內(nèi)容：特征值與特征向量，相似矩陣，Rn空間內(nèi)積，正交陣，實對稱陣的正交對角化。
2．要求：
①掌握特征值與特征向量的概念及求法。
②理解矩陣相似的概念，理解矩陣相似于對角陣的充要條件及充分條件，會進行相關(guān)的計算和證明。
③掌握施密特正交化方法并能用于將實對稱陣正交對角化。
④理解正交陣的概念及等價條件，利用實對稱陣正交對角化定理解決一些論證問題。
五、二次型
1．內(nèi)容：實二次型，正定二次型，半正定二次型，慣性定理，一般數(shù)域上的二次型。
2．要求：
①掌握一般二次型的概念，用矩陣和內(nèi)積分別表示二次型的方法。
②理解實二次型的慣性定理，掌握實數(shù)域及一般數(shù)域上二次型的標準形及其求法。
③理解正定二次型，半正定二次型的概念及若干等價條件并能用于相關(guān)計算與證明。
六、多項式
1．內(nèi)容：一元多項式，整除，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項式函數(shù)，復(fù)系數(shù)及實系數(shù)多項式因式分解，有理系數(shù)多項式。
2．要求：
①掌握數(shù)域上一元多項式的概念及相關(guān)運算(包括帶余除法)。
②理解多項式整除及最大公因式等概念，會用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式。
③理解因式分解定理及其唯一性的含義，掌握有重因式的充要條件，并能用于判別。
④理解多項式恒等與多項式函數(shù)相等的關(guān)系，能利用恒等或判別恒等解決相關(guān)問題。
⑤掌握整系數(shù)多項式的有理根判別法以及關(guān)于不可約的Eisenstein判別法解決某些問題。
⑥了解復(fù)系數(shù)多項式的代數(shù)基本定理，理解實系數(shù)多項式的虛根成對定理，并能用于簡單證明。
七、線性空間
1．內(nèi)容：線性空間定義及簡單性質(zhì)，維數(shù)，基底與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。
2．要求：
①理解線性空間的公理化定義，掌握其簡單性質(zhì)。
②掌握線性空間維數(shù)，基底，坐標等概念，掌握基變換及坐標變換公式進行有關(guān)計算。
③掌握線性子空間，交子空間，和子空間的概念及交與和的維數(shù)公式。
④理解子空間直和的概念，掌握直和的幾個充要條件并能用于相關(guān)證明和計算。
⑤理解線性空間的同構(gòu)概念，掌握有限維線性空間同構(gòu)的條件。
八、線性變換
1．內(nèi)容：線性變換及其運算，線性變換的矩陣，哈密頓-凱萊定理，線性變換的值域與核，不變子空間，若當標準形介紹，最小多項式，矩陣相似與λ-矩陣。
2．要求：
①掌握線性變換概念并能用于判別，理解線性變換的加法，數(shù)乘，乘法運算。
②掌握線性變換的矩陣表示及其求法，了解哈密頓-凱萊定理。
③理解線性變換的值域與核的概念，并了解其與線性方程組基礎(chǔ)解系定理之間關(guān)系。
④理解線性變換不變子空間的概念，掌握空間分解為不變子空間直和與矩陣相似于準對角陣之關(guān)系。
⑤了解復(fù)矩陣若當標準形的結(jié)構(gòu)，能用λ-矩陣方法求一個復(fù)矩陣的若當標準形。
⑥了解最小多項式的概念，會求簡單陣的最小多項式。
⑦了解用λ-矩陣表述的矩陣相似的幾個充要條件。
九、歐氏空間
1．內(nèi)容：歐氏空間定義及其基本性質(zhì)，標準正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，對稱變換，最小二乘法，酉空間。
2．要求：
①掌握抽象歐氏空間的定義及其基本性質(zhì)。
②理解標準正交基及歐氏空間同構(gòu)的概念，會求一個歐氏空間的標準正交基。
③掌握有限維歐氏空間的正交變換的定義及其等價條件并能用于證明。
④理解歐氏空間子空間及其正交補的概念，會進行相關(guān)計算與證明。
⑤了解對稱變換及其矩陣表示，了解最小二乘法的思想。
⑥了解酉空間的概念及與歐氏空間相平行的結(jié)論。
二、試卷結(jié)構(gòu)
1．考試時間：180分鐘
2．試卷分值：150分
3．題型結(jié)構(gòu)：
（1）多項選擇與填空(約占20-30分)
（2）計算題(約占50-60分)
（3）證明題(約占60-70分)
三、參考書目
1．曹重光, 線性代數(shù), 內(nèi)蒙古科學(xué)技術(shù)出版社, 1999.
2．北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組, 高等代數(shù)(第三版), 高等教育出版社, 2003.

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