2021華北電力大學數(shù)學分析研究生考試大綱 正文

華北電力大學2021年碩士生入學考試初試科目考試大綱
科目代碼：692                     
科目名稱：數(shù)學分析
一、 考試的總體要求
《數(shù)學分析》是一門重要的數(shù)學基礎課程，由分析基礎、一元函數(shù)微分學和積分學、級數(shù)、多元函數(shù)微分學和積分學等部分組成。要求考生系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學分析的基本思想和方法，并具有抽象思維能力、邏輯推理能力、計算論證能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
二、 考試的內(nèi)容
1. 分析基礎
(1) 實數(shù)理論
要求 了解實數(shù)公理；理解上確界和下確界的意義；掌握絕對值不等式及平均值不等式；掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性等特殊性質(zhì)。
(2) 數(shù)列極限
掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念（ε-N語言、ε-δ語言的描述），理解無窮大（?。┝康母拍罴盎拘再|(zhì)；
掌握極限的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號性）及四則運算性質(zhì)、單調(diào)有界收斂定理、Cauchy收斂準則、迫斂性（兩邊夾、夾擠）原理、兩個重要極限；數(shù)列極限的概念與性質(zhì)，單調(diào)有界定理與柯西收斂原理
(3) 函數(shù)極限
函數(shù)極限的概念與性質(zhì)，柯西收斂原理，兩個重要極限，會應用兩個重要極限求解相關問題。
(4) 函數(shù)的連續(xù)性
連續(xù)的概念與性質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性、最值性、介值性（零點定理）、一致連續(xù)性。
(5) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性
2. 一元函數(shù)微分學
(1) 導數(shù)和微分
理解可導與可微、可導與連續(xù)的概念及其相互關系，理解導數(shù)的幾何意義；理解函數(shù)極值點與極值、凸性、拐點等概念；
掌握（高階）導數(shù)、微分的四則運算與復合函數(shù)求導運算法則；掌握左、右導數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導方法。
會用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值性，會用二階導數(shù)研究函數(shù)的凸性與拐點；熟練應用介值定理。
(2) 微分中值定理
掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式極限（洛必達法則）等方面的應用；
掌握泰勒公式及其在極限、極值點判定等方面的應用；
掌握極值與最值的求法、凸的等價定義、以及凸性在不等式等方面的應用。
3．實數(shù)的完備性
區(qū)間套、聚點、開覆蓋的概念。
（1）理解聚點概念及其刻畫，理解區(qū)間套、開覆蓋等概念；
（2）理解關于實數(shù)完備性的六大基本定理及其證明思想；
（3）會用實數(shù)完備性定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性（零點定理）、一致連續(xù)性。
4. 一元積分學
(1) 不定積分
掌握原函數(shù)、不定積分的概念及其基本性質(zhì)；
熟記不定積分的基本公式，掌握換元積分法和分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的積分。 
(2) 定積分
定積分的概念與性質(zhì)，可積條件，牛頓---萊布尼茨公式，換元法與分部積分法，積分中值定理，微積分基本定理
掌握定積分的概念、可積條件、可積函數(shù)類；
掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理；掌握變上限積分的性質(zhì)。
(3) 定積分的應用
能用定積分計算平面圖形的面積、弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積以及一些物理量的計算。
(4) 反常積分
反常積分的概念與性質(zhì)，收斂判別法。
理解反常積分收斂的概念、Cauchy收斂準則；熟練掌握反常積分收斂性的比較判別法，狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。
5. 級數(shù)
(1) 數(shù)項級數(shù)
正項級數(shù)，交錯級數(shù)，一般項級數(shù)，要求熟練掌握級數(shù)收斂性的判別法
(2) 函數(shù)項級數(shù)
要求會求收斂半徑，收斂域，判斷一致收斂性，熟練掌握一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)
(3) 冪級數(shù)
要求掌握冪級數(shù)的概念與性質(zhì)，會求函數(shù)的冪級數(shù)展開式
(4) 傅立葉級數(shù)
掌握周期函數(shù)傅立葉級數(shù)的展開與收斂性的判別。
6. 多元微分學
(1) 偏導數(shù)與全微分
可微性，偏導數(shù)，高階偏導數(shù)，鏈式法則，方向?qū)?shù)與梯度
(2) 多元微分學的應用
中值定理，泰勒公式，極值與條件極值，隱函數(shù)定理及應用
(3) 含參變量的積分
7. 多元積分學
(1) 重積分
二重積分的定義，計算與變量替換，三重積分的定義，計算與變   量替換
（2）曲線積分
 第一型曲線積分，第二型曲線積分，格林公式
（3）曲面積分
曲面的面積，第一型曲面積分，第二型曲面積分，高斯公式，斯托克斯公式
三、考試的題型
判斷題、填空題、計算題、證明題、綜合分析題等。

華北電力大學(保定)

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