初試自命題考試大綱

    科目名稱數(shù)學(xué)分析科目代碼601

    一、考試范圍及要點(diǎn)

    1、變量，函數(shù)，極限，連續(xù)

    理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的幾何特性，理解復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形。理解數(shù)列極限的定義，會(huì)利用定義來(lái)證明數(shù)列的極限。掌握數(shù)列極限的性質(zhì)，了解有界數(shù)列的定義，掌握數(shù)列極限的運(yùn)算，掌握單調(diào)有界數(shù)列的定義，了解極限存在的判別法（單調(diào)有界數(shù)列比有極限）。了解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量無(wú)窮小量的階的定義，了解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的幾何意義。掌握無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系和一些運(yùn)算法則。理解函數(shù)在一點(diǎn)的極限的定義及其幾何意義，掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則。掌握函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的關(guān)系。理解單側(cè)極限的定義（左極限、右極限），掌握函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處極限和函數(shù)值趨于無(wú)窮大時(shí)極限的定義（正無(wú)限遠(yuǎn)和負(fù)無(wú)限遠(yuǎn)），掌握兩個(gè)常用的不等式和兩個(gè)重要的極限（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則），會(huì)用兩個(gè)極限求極限。掌握函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義（連續(xù)、左連續(xù)、右連續(xù)），理解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，了解初等函數(shù)的連續(xù)性，了解不連續(xù)點(diǎn)的定義，會(huì)判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型（第一類、第二類和可移），了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、具有最大最小值、零點(diǎn)存在定理），掌握函數(shù)一致連續(xù)的定義及其幾何意義，會(huì)利用定義證明函數(shù)的一致連續(xù)性。理解子列、上確界和下確界的定義，并會(huì)求數(shù)列的上下確界。掌握實(shí)數(shù)的基本定理（區(qū)間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理），了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。

    2、單變量微分學(xué)

    理解導(dǎo)數(shù)和微分的定義及幾何意義，了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。會(huì)利用定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則（和差運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、乘積運(yùn)算、相除運(yùn)算），掌握反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，了解對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法。了解微分的運(yùn)算法則和一階形式不變性，理解高階導(dǎo)數(shù)與高階微分的定義，會(huì)求隱函數(shù)及參數(shù)方程所表示的函數(shù)的一階和高階導(dǎo)數(shù)，了解不可導(dǎo)函數(shù)的形式，掌握高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則。理解并會(huì)運(yùn)用微分學(xué)的基本定理（費(fèi)爾馬定理，拉格朗日定理，柯希定理），會(huì)利用導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算，掌握泰勒公式，會(huì)求函數(shù)在給定點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式。掌握函數(shù)的極大值與極小值，最大值和最小值，凸性和函數(shù)的升降，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。掌握漸近線的求法（水平、垂直和斜漸近線）。根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷所給函數(shù)的上升與下降，凸性和極值，并出函數(shù)的圖形。知道什么是曲線的曲率，弧長(zhǎng)的微分，掌握曲率的計(jì)算，了解待定型（及待定型），掌握求待定型的方法（洛必達(dá)法則），會(huì)求方程的近似解。

    3、單變量積分學(xué)

    理解不定積分和定積分的定義及性質(zhì)，掌握不定積分的基本公式與運(yùn)算法則，會(huì)計(jì)算不定積分（“湊”微分法、換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)積分法），會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分，掌握其他類型的積分法。掌握定積分存在的充分必要條件（第一充要條件、第二充要條件），了解可積函數(shù)類，掌握定積分的計(jì)算――基本公式（牛頓－萊布尼茲公式）、換元公式、分部積分公式，會(huì)利用定積分來(lái)求和式的極限。了解橢圓積分（第一類、第二類、第三類）。掌握定積分的應(yīng)用和近似計(jì)算，會(huì)計(jì)算平面圖形的面積，曲線的弧長(zhǎng)，體積，旋轉(zhuǎn)曲面的面積，質(zhì)心，平均值，功。知道廣義積分分為無(wú)限區(qū)間上的廣義積分和無(wú)界函數(shù)的積分兩種，了解無(wú)窮限廣義積分和無(wú)界函數(shù)廣義積分的概念，會(huì)利用定義來(lái)求這兩類廣義積分。了解無(wú)窮限廣義積分和級(jí)數(shù)之間的關(guān)系，掌握這兩類積分收斂的判別法（比較判別發(fā)、柯希判別法及其極限形式），會(huì)證明廣義積分的斂散性，了解什么是柯西主值，會(huì)求廣義積分的柯西主值。

    4、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)

    理解上極限和下極限的概念以及上下極限和極限的關(guān)系。理解無(wú)窮級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)收斂的定義，了解收斂級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì)，掌握柯西收斂原理，會(huì)利用柯西收斂原理判別級(jí)數(shù)的收斂性。理解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義，掌握正相級(jí)數(shù)收斂的基本定理和判別法（比較判別發(fā)、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法及其極限形式），了解柯西積分判別法，并會(huì)利用這些判別法來(lái)證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。理解絕對(duì)收斂和條件收斂的定義及其之間的關(guān)系。掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，掌握阿貝爾判別法和狄立克萊判別法，并會(huì)利用他們來(lái)判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。了解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，掌握一致收斂的定義及一致收斂級(jí)數(shù)的幾何意義，會(huì)判斷函數(shù)列的一致收斂性，理解一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)（和的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積），掌握一致收斂級(jí)數(shù)的判別法（魏爾斯特拉斯判別法、狄尼定理、狄立克萊判別法、阿貝爾判別法），會(huì)討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。理解冪級(jí)數(shù)的定義及性質(zhì)，會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，了解函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，并會(huì)對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，了解魏爾斯特拉斯逼近定理。理解富里埃級(jí)數(shù)的定義和形式，掌握黎曼引理，了解富里埃級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)，理解狄尼定理及其推論，掌握l(shuí)ipschitz判別法，掌握函數(shù)的富里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)，會(huì)將簡(jiǎn)單函數(shù)展開(kāi)為富里埃級(jí)數(shù)（正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)）。了解周期為T的函數(shù)的富里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)，知道富里埃級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式，了解富里埃變換和富里埃逆變換的概念，掌握富里埃變換的一些性質(zhì)（線性、平移、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)），會(huì)求函數(shù)的富里埃變換。

    5、多元函數(shù)的極限論

    掌握平面點(diǎn)集上的有關(guān)定義（鄰域，點(diǎn)列的極限，開(kāi)集，閉集，區(qū)域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)、聚點(diǎn)），了解平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理（矩形套定理、致密性定理、有限覆蓋定理、收斂原理），理解多元函數(shù)的概念（二元函數(shù)），理解二元函數(shù)極限和連續(xù)性的定義，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理、一致連續(xù)性定理、最大值最小值定理、零點(diǎn)存在定理），掌握二重極限和二次極限的定義，并會(huì)求二元函數(shù)的二重極限和二次極限，了解二重極限和二次極限之間的關(guān)系。

    6、多變量微分學(xué)

    理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義，了解全微分存在的必要條件和充分條件，會(huì)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分。理解高階偏導(dǎo)數(shù)和高階全微分的概念，掌握復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程（組）所確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。了解空間曲線的切線與法平面的求法，曲面的切平面與法線的求法，理解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。知道多元函數(shù)的泰勒公式。了解極值，極值點(diǎn)和條件極值的概念，會(huì)求函數(shù)的極值，了解最最小二乘法，理解方程或方程組的隱函數(shù)存在定理，理解函數(shù)行列式的性質(zhì)。

    7、含參變量的積分和廣義積分

    理解含參變量的積分及由含參變量積分所確定的函數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可微性，可積性），了解含參變量廣義積分的定義，掌握一致收斂的定義，一致收斂積分的判別法（魏爾斯特拉斯判別法），及一致收斂積分的性質(zhì)（連續(xù)性定理，積分順序交換定理，積分號(hào)下求導(dǎo)定理），了解歐拉積分。

    8、多變量積分學(xué)

    掌握二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的概念及其積分的性質(zhì)。掌握二重積分與三重積分的計(jì)算及應(yīng)用（化二重積分為二次積分，用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，二重積分的一般變量替換，化三重積分為三次積分，三重積分的變量替換）。了解積分在物理上的應(yīng)用（質(zhì)心，矩，引力）。了解廣義重積分的定義。掌握第一、二類曲線積分和第一、二類曲面積分的計(jì)算，會(huì)計(jì)算曲面的面積，會(huì)化第一類曲面積分為二重積分。了解兩類曲線積分之間和兩類曲面積分之間的聯(lián)系，掌握各種積分間的聯(lián)系（格林公式、高斯公式、斯托克司公式），會(huì)利用這些公式計(jì)算曲線的積分。會(huì)使用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，了解場(chǎng)及向量場(chǎng)的散度與旋度的概念。會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（如體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功等）。

    二、考試形式及試卷結(jié)構(gòu)

    閉卷、筆試，計(jì)算題和證明題，滿分150分。

    參考書(shū)目：

    《數(shù)學(xué)分析》（上、下），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著，高等教育出版社出版，2010年第四版

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