2021上海財(cái)經(jīng)大學(xué)813高等代數(shù)研究生考試大綱

發(fā)布時(shí)間：2020-11-26 編輯：考研派小莉推薦訪問：

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2021上海財(cái)經(jīng)大學(xué)813高等代數(shù)研究生考試大綱正文

813高等代數(shù)

一、多項(xiàng)式

1.數(shù)域

1.1理解數(shù)域的概念.

1.2會判別數(shù)集是否是數(shù)域.

2.一元多項(xiàng)式

2.1理解一元多項(xiàng)式的概念,知道多項(xiàng)式次數(shù)的定義.

2.2掌握多項(xiàng)式的基本運(yùn)算及運(yùn)算前后次數(shù)的關(guān)系.

2.3理解兩個(gè)多項(xiàng)式相等的概念.

3.整除

3.1掌握多項(xiàng)式的帶余除法.

3.2理解整除的概念.

3.3掌握整除的一些基本性質(zhì).

4.最大公因式

4.1理解最大公因式的概念及基本結(jié)論.

4.2掌握求最大公因式的計(jì)算方法(輾轉(zhuǎn)相除法).

4.3理解多項(xiàng)式互素的概念及基本性質(zhì).

5.因式分解

5.1清楚不可約多項(xiàng)式的定義及其基本性質(zhì).

5.2理解因式分解定理.

5.3理解重因式的概念,會利用導(dǎo)數(shù)判別多項(xiàng)式是否有重因式的方法.

6.多項(xiàng)式函數(shù)

6.1理解多項(xiàng)式函數(shù)的概念.

6.2掌握余數(shù)定理.

6.3理解多項(xiàng)式根(零點(diǎn))及重根的概念.

6.4知道根與多項(xiàng)式相等的結(jié)論.

7.復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解

7.1清楚代數(shù)基本定理.

7.2領(lǐng)會復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解.

7.3清楚實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的共軛復(fù)根問題.

7.4領(lǐng)會實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解.

8.有理系數(shù)多項(xiàng)式

8.1清楚有理系數(shù)多項(xiàng)式與整系數(shù)多項(xiàng)式的關(guān)系.

8.2理解本原多項(xiàng)式的概念及其基本性質(zhì).

8.3掌握整系數(shù)多項(xiàng)式有有理根的必要條件.

8.4掌握Eisenstein判別法.二、行列式

1.排列與逆序

1.1理解排列與逆序的概念.

1.2理解對換的概念與性質(zhì).

2.n階行列式的定義及基本性質(zhì)

2.1掌握二階三階行列式的特征及其對角線計(jì)算法.

2.2理解n階行列式的定義（三個(gè)特征）.

2.3會利用行列式的定義計(jì)算一些特殊行列式的值.

2.4掌握行列式的基本性質(zhì).

3.行列式的展開

3.1理解行列式的余子式與代數(shù)余子式的概念.

3.2理解行列式按一行一列展開的公式.

3.3清楚范德蒙行列式的結(jié)論,并由此計(jì)算一些范德蒙型行列式的值.

4.行列式的計(jì)算

4.1掌握一些行列式的基本計(jì)算方法:三角化,展開法，遞推法，歸納法,加邊法，析因子法.

5.克萊姆法則

5.1掌握克萊姆法則.

5.2克萊姆法則應(yīng)用于齊次方程組的一些結(jié)論.

6.Laplace展開定理

6.1理解k階子式及其余子式代數(shù)余子式的概念.

6.2理解Laplace展開定理.

6.3掌握行列式乘法規(guī)則(聯(lián)系矩陣乘法的行列式).三、矩陣

1.矩陣及其基本運(yùn)算

1.1理解矩陣的概念,理解矩陣相等的定義.

1.2了解一些特殊矩陣的結(jié)構(gòu),如方矩陣,三角形矩陣,對角矩陣,數(shù)量矩陣,單位矩

陣,零矩陣.

1.3掌握矩陣的基本運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則.

1.4清楚矩陣的冪與矩陣多項(xiàng)式的定義.

1.5清楚矩陣的轉(zhuǎn)置及性質(zhì),理解對稱矩陣與反對稱矩陣的定義.

2.矩陣的逆

2.1理解逆矩陣的定義及其基本性質(zhì).

2.2清楚矩陣行列式的定義及矩陣相乘行列式的結(jié)論(乘法規(guī)則).

2.3理解伴隨矩陣的定義及性質(zhì).

2.4掌握逆矩陣存在的充分必要條件.

2.5知道用伴隨矩陣表示逆矩陣的公式.

3.矩陣的初等變換與初等矩陣

3.1掌握矩陣的初等變換定義.

3.2掌握線性方程組的矩陣描述以及高斯消元法與初等變換的關(guān)系.

3.3理解消元法的基本思想，掌握解方程組的消元法.

3.4理解矩陣等價(jià)的定義及性質(zhì).理解矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.

3.5掌握初等矩陣的定義及其結(jié)構(gòu).

3.6掌握初等矩陣的性質(zhì)及其與初等變換的關(guān)系.

3.7掌握用初等變換求逆矩陣的方法.

4.矩陣的分塊

4.1掌握矩陣的分塊表示,理解矩陣分塊的目的.

4.2掌握分塊矩陣的基本運(yùn)算.

4.3掌握塊初等變換在2×2分塊矩陣上的應(yīng)用.

四、線性方程組

1.n維向量

1.1理解n維向量的概念，習(xí)慣于向量的列形式表示.

1.2掌握向量的基本運(yùn)算.

2.向量的線性相關(guān)性

2.1理解向量組的線性組合概念，理解向量（組）的線性表示概念以及向量組等價(jià)概念；清楚向量的線性表示與線性方程組是否有解的等價(jià)關(guān)系.

2.2理解向量組的線性相關(guān)性概念，清楚向量組的線性相關(guān)性與齊次線性方程組是否有非零解的等價(jià)關(guān)系.

2.3理解向量組的極大線性無關(guān)組與秩的概念，并熟知有關(guān)結(jié)論.

3.矩陣的秩

3.1理解矩陣秩的概念以及關(guān)于子式的一個(gè)充分必要條件.

3.2理解秩在初等變換下的不變性，掌握用初等變換法求矩陣的秩以及向量組秩.

3.3熟知矩陣秩的有關(guān)結(jié)論.

4.線性方程組

4.1熟知線性方程組的矩陣形式和向量形式，掌握方程組有解判別定理以及判別解各種情形的條件.

4.2理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)與齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念.

4.3掌握用初等變換方法，求齊次與非齊次線性方程組的通解（包括含參數(shù)的方程組）.五、線性空間

1.線性空間

1.1理解線性空間的定義,特別是對于數(shù)域的理解和加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算的理解以及關(guān)于運(yùn)算的封閉性的理解.

1.2熟知一些常見的線性空間，如Rn空間，Rm?n空間，Rn[x]空間，C[a,b]空間等，清楚這些空間上所定義的線性運(yùn)算.

1.3熟知線性空間上的一些簡單性質(zhì).

2.基與維數(shù)

2.1理解線性空間基與維數(shù)的概念,注重其本質(zhì)的含義.

2.2熟知一些常見線性空間中的一組基和它們的維數(shù).

2.3理解坐標(biāo)的概念，清楚坐標(biāo)與Rn空間中元素在概念上的區(qū)別與形式上的一致性.

2.4理解過度矩陣的概念，熟知基變換公式與坐標(biāo)變換的公式.

3.線性子空間

3.1理解線性子空間的概念以及關(guān)于線性運(yùn)算的封閉性的本質(zhì).

3.2熟知由一組向量張成的子空間概念及有關(guān)性質(zhì).

3.3理解子空間的交與和的概念，熟知維數(shù)公式.

3.4理解子空間直和的概念，熟知子空間構(gòu)成直和的各充分必要條件.

4.同構(gòu)

4.1了解映射的概念，1-1對應(yīng)的概念以及逆映射的概念.

4.2了解同構(gòu)映射與線性空間同構(gòu)的概念.

4.3了解n維線性空間到Rn的同構(gòu)映射與同構(gòu)關(guān)系.六、線性變換

1.線性變換及基本運(yùn)算

1.1理解線性變換的概念,熟知一些線性變換的基本性質(zhì).

1.2熟知線性變換的線性運(yùn)算與乘法運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律.

2.線性變換的矩陣

2.1理解線性變換的矩陣概念,理解線性變換與矩陣的1-1對應(yīng)關(guān)系，以及運(yùn)算間的對應(yīng)關(guān)系.

2.2會寫出一些線性變換在一組基下的矩陣.

2.3清楚線性變換在不同基下的矩陣相似性關(guān)系.

3.特征值與特征向量

3.1理解線性變換和矩陣的特征值特征向量概念,清楚線性變換與對應(yīng)矩陣的特征值特征向量的關(guān)系.

3.2掌握計(jì)算特征值與特征向量的方法.

3.3熟知特征值特征向量的基本性質(zhì)，清楚矩陣的相似性在特征值問題上的不變性.

3.4了解Hamilton-Caylay定理的結(jié)論，了解矩陣最小多項(xiàng)式的概念及其基本性質(zhì).

4.相似于對角矩陣

4.1熟知矩陣相似于對角矩陣的條件，知道對應(yīng)于線性變換的結(jié)論.

4.2清楚特征子空間的概念及特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)的概念.

5.不變子空間

5.1理解線性變換（矩陣）值域與核的概念,清楚有關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.

5.2理解線性變換（矩陣）不變子空間的概念，了解有關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.七、內(nèi)積空間

1.內(nèi)積空間

1.1理解內(nèi)積空間的概念,理解向量內(nèi)積的定義及其基本性質(zhì).理解向量長度和距離的概念.

1.2熟知一些常見的內(nèi)積空間，如Rn空間，Rn[x]空間等，清楚這些空間上所定義的內(nèi)積.

2.標(biāo)準(zhǔn)正交基

2.1理解向量正交的概念；理解（標(biāo)準(zhǔn)）正交基的概念.

2.2掌握向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化過程.

3.正交變換

3.1理解正交矩陣的概念及其性質(zhì).

3.2理解正交變換的概念及其性質(zhì).

4.正交補(bǔ)空間

4.1理解子空間的正交補(bǔ)空間的概念.

4.2熟知正交補(bǔ)空間的性質(zhì).

4.3了解正交投影的概念.

4.4了解最小二乘問題的提法以及一些理論結(jié)果.

5.實(shí)對稱矩陣的相似性

5.1了解對稱變換的概念.

5.2熟知實(shí)對稱矩陣的特征值特征向量的性質(zhì).

5.3掌握對稱矩陣正交相似于對角矩陣的計(jì)算方法.

6.酉空間

6.1了解酉空間的概念.

6.2了解酉變換的概念.

6.3了解Hermite矩陣的概念及其特征值的性質(zhì).八、二次型

1.二次型的概念

1.1掌握二次型及其矩陣表示.

1.2理解二次型的非退化線性替換與矩陣合同的聯(lián)系.

2.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

2.1清楚二次型標(biāo)準(zhǔn)形的概念及其結(jié)論，并知道矩陣語言的描述.

2.2掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，配方法，初等變換法，正交變換法.

3.二次型的規(guī)范形

3.1理解二次型的慣性定理，清楚規(guī)范形的唯一性.

4.正定性

4.1理解正（半）定二次型與正（半）定矩陣等概念.

4.2掌握正定矩陣的幾個(gè)充分必要條件及判別方法.九、?--矩陣

1.?-矩陣

1.1清楚?-矩陣的定義以及有關(guān)基本性質(zhì).

1.2理解?-矩陣可逆的條件.

2.?-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

2.1掌握?-矩陣的初等變換（初等矩陣）以及等價(jià)的概念.

2.2清楚?-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定義，并且掌握化?-矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.

3.三個(gè)因子

3.1理解?-矩陣的行列式因子、不變因子的概念以及相互關(guān)系.

3.2理解行列式因子、不變因子的不變性性質(zhì).

3.3理解特征矩陣的的概念以及矩陣初等因子概念.

3.4理解上述三種因子的相互關(guān)系，并掌握計(jì)算這些因子的方法.

3.5清楚矩陣相似的條件.

4.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

4.1清楚矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形以及矩陣相似Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)論.

4.2掌握利用初等因子寫出矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.十、雙線性函數(shù)

1.對偶空間

1.1了解線性函數(shù)的概念.

1.2了解對偶基與對偶空間的概念.

2.雙線性函數(shù)

2.1了解雙線性函數(shù)的概念.

2.2了解雙線性函數(shù)與矩陣的對應(yīng)關(guān)系.

2.3了解對稱雙線性函數(shù)的概念.

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