碩士研究生招生考試業(yè)務(wù)課考試大綱

考試科目： 高等代數(shù) 科目代碼： 851

一、考試目的和要求

要求考生全面系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，熟練掌握高等代

數(shù)的基本思想和基本方法。要求考生具有較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力、

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、 考試方式

閉卷。

三、考試題型

填空題、計(jì)算題、證明題等。

四、考試知識(shí)點(diǎn)

（一）多項(xiàng)式

1．多項(xiàng)式的帶余除法及整除性、最大公因式、互素多項(xiàng)式；

2．不可約多項(xiàng)式、因式分解唯一性定理、重因式、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因

式分解、有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定；

3．多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根、代數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法、

根與系數(shù)的關(guān)系。

（二）行列式

1．行列式的定義及性質(zhì)，行列式的子式、余子式及代數(shù)余子式；

2．行列式按一行、列的展開定理、Cramer 法則、Laplace 定理和行列式乘法定理、

Vandermonde 行列式；

3．運(yùn)用行列式的性質(zhì)及展開定理等計(jì)算行列式。（三）線性方程組

1．Gauss 消元法與初等變換；

2．向量組的線性相關(guān)性、向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組、矩陣的秩；

3．線性方程組有解的判別定理與解的結(jié)構(gòu)。

（四）矩陣

1．矩陣的基本運(yùn)算、矩陣的分塊及常用分塊方法；

2．矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的等價(jià)、矩陣的跡、方陣的多項(xiàng)式；

3．逆矩陣、矩陣可逆的條件及與矩陣的秩和初等矩陣之間的關(guān)系，伴隨矩陣及

其性質(zhì)；

4．運(yùn)用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。

（五）二次型理論

1．二次型及其矩陣表示、矩陣的合同、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形、慣性定理；

2．實(shí)二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法；

3．實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定的定義、判別法及其

應(yīng)用。

（六）線性空間

1．線性空間、子空間的定義與性質(zhì)，向量組的線性相關(guān)性，線性（子）空間的

基、維數(shù)、向量關(guān)于基的坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性空間的同構(gòu)；

2．子空間的基擴(kuò)張定理，生成子空間，子空間的和與直和、維數(shù)公式；

3．一些常見(jiàn)的子空間，如線性方程組的解空間、矩陣空間、多項(xiàng)式空間、函數(shù)

空間。

（七）線性變換

1．線性變換的定義、性質(zhì)與運(yùn)算，線性變換的矩陣表示，矩陣的相似、同一個(gè)

線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系；

2．矩陣的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式及其性質(zhì)、線性變換及其矩陣的特征值和特

征向量的概念和計(jì)算、特征子空間、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)；

3．線性變換的不變子空間、核、值域的概念、關(guān)系及計(jì)算；4．Hamilton-Caylay 定理、矩陣可相似對(duì)角化的條件與方法、線性變換矩陣的化

簡(jiǎn)、Jardan 標(biāo)準(zhǔn)形。

（八）λ-矩陣

1．λ-矩陣的初等變換、標(biāo)準(zhǔn)型，λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子

及三種因子之間的關(guān)系；

2．λ-矩陣的等價(jià)與數(shù)字矩陣的相似；

3．Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的的理論推導(dǎo)。

（九）歐氏空間

1．內(nèi)積與歐氏空間的定義及性質(zhì)，向量的長(zhǎng)度、夾角、距離，正交矩陣，歐氏

空間的同構(gòu)，正交子空間與正交補(bǔ)；

2．歐氏空間的度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、線性無(wú)關(guān)向量組的 Schmidt 正交化方法；

3．正交變換與正交矩陣的等價(jià)條件，對(duì)稱變換的概念與性質(zhì)；

4．實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化的求法。

參考教材：

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)(第四版）．北京:高等教育出版社.2013 年 8 月

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