2021蘇州科技大學數學分析研究生考試大綱

發(fā)布時間:2020-12-04 編輯:考研派小莉 推薦訪問:
2021蘇州科技大學數學分析研究生考試大綱

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2021蘇州科技大學數學分析研究生考試大綱 正文

    蘇州科技大學2021年碩士研究生入學初試考試大綱
    命題學院:數學科學學院
    考試科目名稱:數學分析
    說明:常規(guī)考試用具。
    一、考試基本要求
    《數學分析》考試大綱適用于報考基礎數學、應用數學、概率論與數理統(tǒng)計專業(yè)碩士研究生的入學考試。 其主要目的是測試考生對數學分析最基本內容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數學分析的基本理論、掌握數學分析的基本方法, 具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。
    二、考試內容和考試要求
    (一)實數集與函數
    1、實數:實數的概念,實數的性質,絕對值與不等式;
    2、數集、確界原理:區(qū)間與鄰域,有界集與無界集,上確界與下確界,確界原理;
    3、函數概念:函數的定義,函數的表示法(解析法、列表法、和圖象法),分段函數;
    4、具有某些特征的函數:有界函數,單調函數,奇函數與偶函數,周期函數。
    要求:了解數學的發(fā)展史與實數的概念,理解絕對值不等式的性質,會解絕對值不等式;弄清區(qū)間和鄰域的概念,理解確界概念、確界原理,會利用定義證明一些簡單數集的確界;掌握函數的定義及函數的表示法,了解函數的運算;理解和掌握一些特殊類型的函數。
    (二)數列極限
    1、極限概念;
    2、收斂數列的性質:唯一性,有界性,保號性,單調性;
    3、數列極限存在的條件:單調有界準則,迫斂性法則,柯西準則。
    要求:逐步透徹理解和掌握數列極限的概念;掌握并能運用-N語言處理極限問題;掌握收斂數列的基本性質和數列極限的存在條件(單調有界函數和迫斂性定理),并能運用;了解數列極限柯西準則,了解子列的概念及其與數列極限的關系;了解無窮小數列的概念及其與數列極限的關系.
    (三)函數極限
    1、函數極限的概念,單側極限的概念;
    2、函數極限的性質:唯一性,局部有界性,局部保號性,不等式性,迫斂性;
    3、函數極限存在的條件:歸結原則(Heine定理),柯西準則;
    4、兩個重要極限;
    5、無窮小量與無窮大量,階的比較。
    要求:理解和掌握函數極限的概念;掌握并能應用-,-X語言處理極限問題;了解函數的單側極限,函數極限的柯西準則;掌握函數極限的性質和歸結原則;熟練掌握兩個重要極限來處理極限問題。
    (四)函數連續(xù)
    1、函數連續(xù)的概念:一點連續(xù)的定義,區(qū)間連續(xù)的定義,單側連續(xù)的定義,間斷點及其分類;
    2、連續(xù)函數的性質:局部性質及運算,閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性),復合函數的連續(xù)性,反函數的連續(xù)性;
    3、初等函數的連續(xù)性。
    要求:理解與掌握一元函數連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義及其證明,理解與掌握函數間斷點及其分類,連續(xù)函數的局部性質;理解單側連續(xù)的概念;能正確敘述和簡單應用閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質;了解反函數的連續(xù)性,理解復合函數的連續(xù)性,初等函數的連續(xù)性。
    (五)導數與微分
    1、導數概念:導數的定義、單側導數、導函數、導數的幾何意義;
    2、求導法則:導數公式、導數的運算(四則運算)、求導法則(反函數的求導法則,復合函數的求導法則,隱函數的求導法則,參數方程的求導法則);
    3、微分:微分的定義,微分的運算法則,微分的應用;
    4、高階導數與高階微分。
    要求:理解和掌握導數與微分概念,了解它的幾何意義;能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函數的導數;理解單側導數、可導性與連續(xù)性的關系,高階導數的求法;了解導數的幾何應用,微分在近似計算中的應用。
    (六)微分學基本定理
    1、中值定理:羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;
    2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則;
    3、泰勒公式。
    要求:掌握中值定理的內容、證明及其應用;了解泰勒公式及在近似計算中的應用,能夠把某些函數按泰勒公式展開;能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限
    (七)導數的應用
    1、函數的單調性與極值;
    2、函數凹凸性與拐點.
    要求:了解和掌握函數的某些特性(單調性、極值與最值、凹凸性、拐點)及其判斷方法,能利用函數的特性解決相關的實際問題。
    (八)實數完備性定理及應用
    1、實數完備性六個等價定理:閉區(qū)間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理;
    2、閉區(qū)間上連續(xù)函數整體性質的證明:有界性定理的證明,最大小值性定理的證明,介值性定理的證明,一致連續(xù)性定理的證明;
    3、上、下極限。
    要求:了解實數連續(xù)性的幾個定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質的證明;理解聚點的概念,上、下極限的概念。
    (九)不定積分
    1、不定積分概念;
    2、換元積分法與分部積分法;
    3、幾類可化為有理函數的積分;
    要求:理解原函數和不定積分概念;熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。
    (十)定積分
    1、定積分的概念:概念的引入、黎曼積分定義,函數可積的必要條件;
    2、可積性條件:可積的必要條件和充要條件,達布上和與達布下和,可積函數類(連續(xù)函數,只有有限個間斷點的有界函數,單調函數);
    3、微積分學基本定理:可變上限積分,牛頓-萊布尼茲公式;
    4、非正常積分:無窮積分收斂與發(fā)散的概念,審斂法(柯西準則,比較法,狄利克雷與阿貝爾判別法);瑕積分的收斂與發(fā)散的概念,收斂判別法。
    要求:理解定積分概念及函數可積的條件;熟悉一些可積分函數類,會一些較簡單的可積性證明;掌握定積分與可變上限積分的性質;能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式,換元積分法,分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念;能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。
    (十一)定積分的應用
    1、定積分的幾何應用:平面圖形的面積,微元法,已知截面面積函數的立體體積,旋轉體的體積平面曲線的弧長與微分,曲率;
    2、定積分在物理上的應用:功、液體壓力、引力。
    要求:重點掌握定積分的幾何應用;掌握定積分在物理上的應用;在理解并掌握"微元法"。
    (十二)數項級數
    1、級數的斂散性:無窮級數收斂,發(fā)散等概念,柯西準則,收斂級數的基本性質;
    2、正項級數:比較原理,達朗貝爾判別法,柯西判別法,積分判別法;
    3、一般項級數:交錯級數與萊布尼茲判別法,絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質,阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
    要求:理解無窮級數的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念;掌握收斂級數的性質;能夠應用正項級數與任意項級數的斂散性判別法判斷級數的斂散性;熟悉幾何級數調和級數與p級數。
    (十三)函數項級數
    1、一致收斂性及一致收斂判別法(柯西準則,優(yōu)級數判別法,狄利克雷與阿貝爾判別法);
    2、一致收斂的函數列與函數項級數的性質(連續(xù)性,可積性,可微性)。
    要求:掌握收斂域、極限函數與和函數一致斂等概念;掌握極限函數與和函數的分析性質(會證明);能夠比較熟練地判斷一些函數項級數與函數列的一致收斂。
    (十四)冪級數
    1、冪級數:阿貝爾定理,收斂半徑與收斂區(qū)間,冪級數的一致收斂性,冪級數和函數的分析性質;
    2、幾種常見初等函數的冪級數展開與泰勒定理。
    要求:了解冪級數,函數的冪級數及函數的可展成冪級數等概念;掌握冪級數的性質;會求冪級數的收斂半徑與一些冪級數的收斂域;會把一些函數展開成冪級數,包括會用間接展開法求函數的泰勒展開式
    (十五)付里葉級數
    1、付里葉級數:三角函數與正交函數系,付里葉級數與傅里葉系數,以2為周期函數的付里葉級數,收斂定理;
    2、以2L為周期的付里葉級數;
    3、收斂定理的證明。
    要求:理解三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念;掌握傅里葉級數收斂性判別法;能將一些函數展開成傅里葉級數;了解收斂定理的證明。
    (十六)多元函數極限與連續(xù)
    1、平面點集與多元函數的概念;
    2、二元函數的極限、累次極限;
    3、二元函數的連續(xù)性:二元函數的連續(xù)性概念、連續(xù)函數的局部性質及初等函數連續(xù)性。
    要求:理解平面點集、多元函數的基本概念;理解二元函數的極限、累次極限、連續(xù)性概念,會計算一些簡單的二元函數極限;了解閉區(qū)間套定理,有限覆蓋定理,多元連續(xù)函數的性質。
    (十七)多元函數的微分學
    1、可微性:偏導數的概念,偏導數的幾何意義,偏導數與連續(xù)性;全微分概念;連續(xù)性與可微性,偏導數與可微性;
    2、多元復合函數微分法及求導公式;
    3、方向導數與梯度;
    4、泰勒定理與極值。
    要求:理解并掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數及極值等概念及其計算;弄清全微分、偏導數、連續(xù)之間的關系;了解泰勒公式;會求函數的極值、最值。
    (十八)隱函數定理及其應用
    1、隱函數:隱函數的概念,隱函數的定理,隱函數求導舉例;
    2、隱函數組:隱函數組存在定理,反函數組與坐標變換,雅可比行列式;
    3、幾何應用:平面曲線的切線與法線,空間曲線的切線與法平面,曲面的切平面和法線;條件極值:條件極值的概念,條件極值的必要條件。
    要求:了解隱函數的概念及隱函數的存在定理,會求隱函數的導數;了解隱函數組的概念及隱函數組定理,會求隱函數組的偏導數;會求曲線的切線方程,法平面方程,曲面的切平面方程和法線方程;了解條件極值概念及求法。
    (十九)重積分
    1、二重積分概念:二重積分的概念,可積條件,可積函數,二重積分的性質;
    2、二重積分的計算:化二重積分為累次積分,換元法(極坐標變換,一般變換);
    3、含參變量的積分;
    4、三重積分計算:化三重積分為累次積分,換元法(一般變換,柱面坐標變換,球坐標變換);
    5、重積分應用:立體體積,曲面的面積,物體的重心,轉動慣量;
    6、含參量非正常積分概念及其一致斂性:含參變量非正常積分及其一致收斂性概念,一致收斂的判別法(柯西準則,與函數項級數一致收斂性的關系,一致收斂的M判別法),含參變量非正常積分的分析性質;
    7、歐拉積分:格馬函數及其性質,貝塔函數及其性質。
    要求:了解含參變量定積分的概念與性質;熟練掌握二重、三重積分的概念、性質、計算及基本應用;了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念;理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理,并掌握它們的應用;了解歐拉積分。
    (二十)曲線積分與曲面積分
    1、第一型曲線積分的概念、性質與計算,第一型曲面積分的的概念、性質與計算;
    2、第二型曲線積分的概念、性質與計算,變力作功,兩類曲線積分的聯系;
    3、格林公式,曲線積分與路線的無關性,全函數;
    4、曲面的側,第二型曲面積分概念及性質與計算,兩類曲面積分的關系;
    5、高斯公式,斯托克斯公式,空間曲線積分與路徑無關性;
    6、場論初步:場的概念,梯度,散度和旋度。
    要求:掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質及計算;了解兩類曲線積分的關系和兩類曲面積分的關系;熟練掌握格林公式的證明及其應用,會利用高斯公式、斯托克斯公式計算一些曲面積分與曲線積分;了解場論的初步知識。
    三、考試基本題型
    主要題型可能有:判斷題、填空題、計算題、證明題、應用題等。考試方式為閉卷、筆試??荚嚂r間為180分鐘。試卷滿分為150分。
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