大連理工大學2021年碩士研究生入學考試大綱

    科目代碼：602科目名稱：數(shù)學分析

    數(shù)學分析課程是數(shù)學各專業(yè)最重要的基礎課之一，考試題目主要考查考生基本概念、基本定義、基本公式和基本計算方法的掌握程度，以及考生綜合型的計算能力、分析問題和解決問題的能力。具體復習大綱如下：

    一、數(shù)列極限

    1、數(shù)列極限的概念，ε-N語言。

    2、數(shù)列極限的性質(zhì)和運算法則。

    3、數(shù)列極限的存在性、求極限的一些方法。

    4、單調(diào)有界原理及其應用

    5、基本列的定義，Cauchy原理及其應用。

    6、無窮大和無窮小的概念以及無窮大與無窮小的聯(lián)系。

    7、數(shù)集的上、下確界，數(shù)列的上、下極限。

    8、實數(shù)的六個等價定理。

    9、Stolz定理。

    二、函數(shù)極限與連續(xù)

    1、集合的勢，可數(shù)集與不可數(shù)集。

    2、函數(shù)極限定義，ε—δ語言，函數(shù)極限的其他形式。

    3、函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系。

    4、無窮小與無窮大的級的概念，o與O的運算規(guī)則。

    5、函數(shù)在一點連續(xù)的定義及其性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性，間斷點分類。

    6、一致連續(xù)的定義，連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別、一致連續(xù)的判別。

    7、有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)及其應用。

    8、函數(shù)上、下極限的概念與性質(zhì)。

    三、函數(shù)的導數(shù)及其應用

    1、導數(shù)的定義，導數(shù)的幾何意義，導數(shù)及高階導數(shù)的運算規(guī)則，導數(shù)和高階導數(shù)的計算。

    2、微分的定義及其運算規(guī)則，一階微分形式的不變性。

    3、微分學的中值定理(包括Fermat定理,Rolle中值定理，Lagrange中值定理,Cauchy中值定理，Darboux定理)及其應用。

    4、函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值，函數(shù)的凹凸性等,以及利用導數(shù)研究函數(shù)。

    5、L’Hospital法則及應用。

    6、Taylor定理、各種余項的Taylor展開（包括積分余項的Taylor展式）以及函數(shù)的Maclaurin展式，Taylor展開的應用。

    7、函數(shù)作圖。

    四、不定積分

    1、原函數(shù)的定義及不定積分的運算規(guī)則，基本公式。

    2、不定積分的換元法與分部積分法。

    3、有理函數(shù)及可有理化函數(shù)的不定積分。

    五、定積分

    1、定積分的定義，幾何含義與物理含義。

    2、定積分的性質(zhì)與積分均值定理。

    3、微積分基本定理。

    4、可積的充分必要條件,零測集的概念，Lebesgue定理。

    5、曲線的各種表示方式，光滑曲線的定義及切向量，光滑曲線的弧長。

    6、定積分的計算，分部積分和換元公式。

    7、面積原理，定積分在物理，幾何中的應用。

    六、多元函數(shù)極限與連續(xù)

    1、Euclid空間的性質(zhì)、點列極限的概念和性質(zhì)。

    2、開集與閉集、列緊與緊致、連通性。

    3、多變元函數(shù)極限，累次極限、重極限。

    4、多變元函數(shù)的連續(xù)與一致連續(xù)、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用。

    5、連續(xù)映射。

    七、多元函數(shù)微分學及其應用

    1、偏導數(shù)、方向?qū)?shù)的定義及計算。

    2、多元函數(shù)微分的概念，可微、連續(xù)和偏導之間的關系。

    3、映射的微分，復合求導，高階偏導數(shù)，映射的Jacobi矩陣等。

    4、隱函數(shù)定理、隱映射與逆映射定理及其應用。

    5、多元微分學的中值定理及Taylor展式。

    6、多元函數(shù)極值求法、條件極值。

    7、曲面的各種表示方法，曲面的法向量，切平面方程，多元微分學在幾何中的應用。

    八、重積分

    1、重積分定義、幾何意義與物理意義，重積分的可積性條件，零測集，重積分的性質(zhì)。

    2、重積分的計算，包括化重積分為累次積分，換元法，交換積分順序等。

    3．重積分的應用，包括幾何應用與物理應用。

    九、曲線積分和曲面積分

    1、第一、第二型曲線積分的定義和計算及其物理意義。

    2．Green公式。

    3、第一型曲面積分和第二型曲面積分的定義和計算及其物理意義。

    4、Gauss公式和Stokes公式。

    5、場論初步，梯度，散度，旋度的定義和物理意義。

    6、有勢場和勢函數(shù)

    十、數(shù)項級數(shù)

    1、級數(shù)收斂的定義及基本性質(zhì)。

    2、正項級數(shù)的判別法。

    3、絕對收斂與條件收斂。

    4、一般項級數(shù)收斂性的判別。

    5、級數(shù)的乘積。

    6、無窮乘積。

    十一、函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列

    1、函數(shù)項級數(shù)、函數(shù)列的逐點收斂與一致收斂。

    2、函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列一致收斂性的定義與判別。

    3、極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)。

    4、冪級數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的冪級數(shù)展開。

    5、多項式可一致逼近連續(xù)函數(shù)定理。

    6、冪級數(shù)的應用。

    十二、反常積分和含參變量的積分

    1、反常積分的定義，計算及其性質(zhì)。

    2、含參量正常積分的定義，計算與性質(zhì)。

    3、反常積分的收斂性判別、絕對收斂和條件收斂。

    4、含參量反常積分的一致收斂。

    5、含參量反常積分的性質(zhì)，極限各種換序。

    6、Euler積分，Gamma函數(shù)和B函數(shù)

    十三、Fourier分析

    1、Fourier級數(shù)的定義和周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開。

    2、Fourier級數(shù)的收斂性。

    3、Fourier級數(shù)的Cesaro求和。

    4、平方平均逼近和Weierstrass第二逼近定理。

    5、Fourier積分與Fourier變換。

    附參考資料：

    1、《數(shù)學分析教程》，編者：常庚哲、史濟懷，中國科學技術大學出版社，2013年，第三版

    2、《數(shù)學分析》，編者：李成章、黃玉民，科學出版社，2005年，第二版

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