2022年遼寧師范大學601高等代數碩士研究生考研大綱及參考書目
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2022年遼寧師范大學601高等代數碩士研究生考研大綱及參考書目 正文
601《高等代數》考試大綱注意:本大綱為參考性考試大綱,是考生需要掌握的基本內容。
第一部分 一元多項式理論
一、考核知識點
1、一元多項式
2、整除性與最大公因式
3、因式分解
4、復系數、實系數、有理系數多項式
二、考核要求
(一)一元多項式
1、熟練掌握:一元多項式及相關概念。
2、深刻理解:多項式的運算及與次數的關系。
3、簡單應用:多項式的運算。
(二)整除性與最大公因式
1、熟練掌握:(1)多項式和整除及相關概念。(2)最大公因式及相關概念。
2、深刻理解:(1)整除的性質。(2)帶余除法。(3)輾轉除法。(4)最大公因式的性質。(5)互素的性質。
3、簡單應用:(1)掌握帶余除法。(2)計算最大公因式。(3)使用整除性質、最大公因式的性質、互素的性質處理多項式問題。
(三)因式分解
1、熟練掌握:(1)不可約多項式概念。(2)最小公倍式概念。(3)重因式、根、重根等概念。
2、深刻理解:(1)唯一分解定理。(2)不可約多項式的性質。(3)導數與重因式的關系。(4)次數與根的個數的關系。
3、簡單應用:利用因式分解理論處理多項式的相關問題。
(四)復系數、實系數、有理系數多項式
1、熟練掌握:(1)復系數、實系數不可約多項式及因式分解定理。(2)本原多項式。
2、深刻理解:(1)實系數多項式虛根特征。(2)本原多項式性質。(3)有理系數多項與整系數多項式在可約性上的關系。(4)艾森斯坦因判別法。(5)綜合除法。(6)有理系數多項式的有理根的判定。
3、簡單應用:應用復系數、實系數、有理系數多項式理論處理相關問題。
第二部分 行列式
一、考核知識點
1、映射與變換
2、置換的奇偶性
3、行列式
4、克拉默法則
二、考核要求
(一)映射與變換
1、熟練掌握:映射、變換及相關概念。
2、深刻理解:映射的合成及運算律。
3、簡單應用:判斷具體映射的可逆性。
(二)置換的奇偶性
1、熟練掌握:置換奇偶性概念。
2、深刻理解:置換的表示方法。
3、簡單應用:置換的運算、分解。
(三)行列式
1、熟練掌握:行列式的定義及相關概念。
2、深刻理解:行列式的性質。
3、簡單應用:行列式的計算。
4、理 解:行列式的幾何意義。
(四)克拉默法則
1、熟練掌握:克拉默法則內容。
2、深刻理解:克拉默法則的思想與證明。
3、簡單應用:利用克拉默法則解線性方程組。
第三部分 線性方程組與線性子空間
一、考核知識點
1、消元法
2、向量組的線性相關性
3、線性子空間
二、考核要求
(一)消元法
1、熟練掌握:(1)矩陣。(2)初等變換。(3)線性方程組的有關概念。
2、深刻理解:消元法的全過程。
3、簡單應用:解線性方程組。
(二)向量組的線性相關性
1、熟練掌握:線性表示、線性相關、線性無關等基本概念。
2、深刻理解:線性相關性的相應結論。
3、簡單應用:判定向量組的線性相關性。
(三)線性子空間
1、熟練掌握:(1)線性子空間。(2)基與維數。
2、深刻理解:基對子空間的意義。
3、簡單應用:(1)判定是否子空間。(2)確定基和維數。
第四部分 矩陣
一、考核知識點
1、向量組與矩陣的秩
2、線性映射及矩陣
3、矩陣乘積的行列式與矩陣的逆
4、矩陣分塊
5、初等矩陣
二、考核要求
(一)向量組與矩陣的秩
1、熟練掌握:(1)向量組的線性表示、等價、極大無關組、秩等概念。(2)矩陣的行秩、列秩、子式、秩等概念。
2、深刻理解:(1)與向量組的秩相關的一些結論。(2)與矩陣的秩相關的一些結論。
3、簡單應用:(1)求向量組的極大無關組。(2)求向量組和矩陣的秩。(3)利用矩陣的秩判斷線性方程組解的狀況。
(二)矩陣乘積的行列式與矩陣的逆
1、熟練掌握:(1)退化、非退化、可逆、非可逆、伴隨等關于矩陣的概念。(2)可逆矩陣的求逆公式。(3)關系式:|AB|=|A||B|。
2、深刻理解:矩陣可逆與線性變換可逆性的關系。
3、簡單應用:計算可逆矩陣的逆矩陣。
(三)矩陣的分塊
1、熟練掌握:(1)矩陣分塊的概念。(2)分塊對角矩陣的概念。
2、深刻理解:矩陣運算對分塊的要求。
3、簡單應用:(1)對矩陣進行分塊運算。(2)分塊矩陣的運算。
(四)初等矩陣
1、熟練掌握:初等方陣的定義。
2、深刻理解:初等矩陣與初等變換的關系。
3、簡單應用:(1)化矩陣為正規(guī)形。(2)用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣。
第五部分 線性空間與歐幾里得空間
一、考核知識點
1、線性空間
2、歐幾里得空間
二、考核要求
(一)線性空間
1、熟練掌握:(1)線性空間定義及性質。(2)子空間的和與直和的定義。
(3)維數定理。(4)同構。
2、深刻理解:(1)線性空間定義中的八條公理。(2)直和的判定條件。
(3)簡單應用:判斷子空間的和是直和。
(二)歐幾里得空間
1、熟練掌握:(1)歐幾里得空間及其相關概念。(2)正交變換及正交矩陣的概念。
2、深刻理解:(1)施密特正交化方法。(2)正交變換的判定條件和性質。(3)正交矩陣的判定條件和性質。
3、簡單應用:(1)把線性無關向量變?yōu)闃藴收幌蛄拷M。(2)判斷線性變換的正交性。(3)判斷矩陣的正交性。(4)掌握歐氏空間中向量的度量性質。
第六部分 線性變換
一、考核知識點
1、線性空間的基變換
2、線性變換的矩陣的化簡
二、考核要求
(一)線性空間的基變換
1、熟練掌握:過渡矩陣、相似矩陣的概念。
2、深刻理解:基變換對坐標的影響和對線性變換矩陣的影響。
3、簡單應用:(1)正確使用坐標變換公式。(2)掌握線性變換的矩陣受基變換的影響。
(二)線性映射及矩陣
1、熟練掌握:(1)線性映射。(2)線性映射的運算。(3)矩陣的運算。
2、深刻理解:(1)線性映射及矩陣的運算規(guī)律。(2)線性映射與矩陣的對應關系。
3、簡單應用:(1)線性映射的運算和矩陣的運算。(2)處理相關矩陣的某些問題。
(三)線性變換矩陣的化簡
1、熟練掌握:特征值、特征向量、特征多項式、不變子空間、特征子空間等概念。
2、深刻理解:線性變換的矩陣的化簡思想與方法。
3、簡單應用:(1)判斷具體線性變換是否可以對角化。(2)處理有關特征值、特征向量、不變子空間的一些問題。
第七部分 二次型
一、考核知識點
1、二次型基本性質
2、二次型的標準形
3、正定二次型
二、考核要求
1、熟練掌握:二次型及相關概念。
2、深刻理解:二次型的化簡。
3、簡單應用:(1)化二次型為標準形。(2)判斷具體實二次型的正定性。
第八部分 多項式矩陣
一、考核知識點
1、多項式矩陣
2、若爾當典范形理論
二、考核要求
(一)多項式矩陣
1、熟練掌握:(1)多項式矩陣。(2)初等變換與初等多項式矩陣。(3)多項式矩陣的正規(guī)形。
2、深刻理解:初等多項式矩陣的意義。
3、簡單應用:化多項式矩陣為正規(guī)形。
(二)若爾當典范形理論
1、熟練掌握:(1)行列式因子。(2)不變因子。(3)初等因子。
2、深刻理解:(1)行列式因子、不變因子、初等因子之間的關系。(2)矩陣相似的判定條件。
3、簡單應用:化矩陣為若爾當典范形。
參考書目:高等代數,北京大學數學系代數小組編,高等教育出版社,2019年5月,第五版。
遼寧師范大學
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