2022年遼寧師范大學601高等代數碩士研究生考研大綱及參考書目 正文

601《高等代數》考試大綱
注意：本大綱為參考性考試大綱，是考生需要掌握的基本內容。
第一部分 一元多項式理論
一、考核知識點
1、一元多項式
2、整除性與最大公因式
3、因式分解
4、復系數、實系數、有理系數多項式
二、考核要求
（一）一元多項式
1、熟練掌握：一元多項式及相關概念。
2、深刻理解：多項式的運算及與次數的關系。
3、簡單應用：多項式的運算。
（二）整除性與最大公因式
1、熟練掌握：（1）多項式和整除及相關概念。（2）最大公因式及相關概念。
2、深刻理解：（1）整除的性質。（2）帶余除法。（3）輾轉除法。（4）最大公因式的性質。（5）互素的性質。
3、簡單應用：（1）掌握帶余除法。（2）計算最大公因式。（3）使用整除性質、最大公因式的性質、互素的性質處理多項式問題。
（三）因式分解
1、熟練掌握：（1）不可約多項式概念。（2）最小公倍式概念。（3）重因式、根、重根等概念。
2、深刻理解：（1）唯一分解定理。（2）不可約多項式的性質。（3）導數與重因式的關系。（4）次數與根的個數的關系。
3、簡單應用：利用因式分解理論處理多項式的相關問題。
（四）復系數、實系數、有理系數多項式
1、熟練掌握：（1）復系數、實系數不可約多項式及因式分解定理。（2）本原多項式。
2、深刻理解：（1）實系數多項式虛根特征。（2）本原多項式性質。（3）有理系數多項與整系數多項式在可約性上的關系。（4）艾森斯坦因判別法。（5）綜合除法。（6）有理系數多項式的有理根的判定。
3、簡單應用：應用復系數、實系數、有理系數多項式理論處理相關問題。
第二部分  行列式
一、考核知識點
1、映射與變換
2、置換的奇偶性
3、行列式
4、克拉默法則
二、考核要求
（一）映射與變換
1、熟練掌握：映射、變換及相關概念。
2、深刻理解：映射的合成及運算律。
3、簡單應用：判斷具體映射的可逆性。
（二）置換的奇偶性
1、熟練掌握：置換奇偶性概念。
2、深刻理解：置換的表示方法。
3、簡單應用：置換的運算、分解。
（三）行列式
1、熟練掌握：行列式的定義及相關概念。
2、深刻理解：行列式的性質。
3、簡單應用：行列式的計算。
4、理    解：行列式的幾何意義。
（四）克拉默法則
1、熟練掌握：克拉默法則內容。
2、深刻理解：克拉默法則的思想與證明。
3、簡單應用：利用克拉默法則解線性方程組。
第三部分  線性方程組與線性子空間
一、考核知識點
1、消元法
2、向量組的線性相關性
3、線性子空間
二、考核要求
（一）消元法
1、熟練掌握：（1）矩陣。（2）初等變換。（3）線性方程組的有關概念。
2、深刻理解：消元法的全過程。
3、簡單應用：解線性方程組。
（二）向量組的線性相關性
1、熟練掌握：線性表示、線性相關、線性無關等基本概念。
2、深刻理解：線性相關性的相應結論。
3、簡單應用：判定向量組的線性相關性。
（三）線性子空間
1、熟練掌握：（1）線性子空間。（2）基與維數。
2、深刻理解：基對子空間的意義。
3、簡單應用：（1）判定是否子空間。（2）確定基和維數。
第四部分  矩陣
一、考核知識點
1、向量組與矩陣的秩
2、線性映射及矩陣
3、矩陣乘積的行列式與矩陣的逆
4、矩陣分塊
5、初等矩陣
二、考核要求
（一）向量組與矩陣的秩
1、熟練掌握：（1）向量組的線性表示、等價、極大無關組、秩等概念。（2）矩陣的行秩、列秩、子式、秩等概念。
2、深刻理解：（1）與向量組的秩相關的一些結論。（2）與矩陣的秩相關的一些結論。
3、簡單應用：（1）求向量組的極大無關組。（2）求向量組和矩陣的秩。（3）利用矩陣的秩判斷線性方程組解的狀況。
（二）矩陣乘積的行列式與矩陣的逆
1、熟練掌握：（1）退化、非退化、可逆、非可逆、伴隨等關于矩陣的概念。（2）可逆矩陣的求逆公式。（3）關系式：|AB|=|A||B|。
2、深刻理解：矩陣可逆與線性變換可逆性的關系。
3、簡單應用：計算可逆矩陣的逆矩陣。
（三）矩陣的分塊
1、熟練掌握：（1）矩陣分塊的概念。（2）分塊對角矩陣的概念。
2、深刻理解：矩陣運算對分塊的要求。
3、簡單應用：（1）對矩陣進行分塊運算。（2）分塊矩陣的運算。
（四）初等矩陣
1、熟練掌握：初等方陣的定義。
2、深刻理解：初等矩陣與初等變換的關系。
3、簡單應用：（1）化矩陣為正規(guī)形。（2）用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣。
 
第五部分  線性空間與歐幾里得空間
一、考核知識點
1、線性空間
2、歐幾里得空間
二、考核要求
（一）線性空間
1、熟練掌握：（1）線性空間定義及性質。（2）子空間的和與直和的定義。
（3）維數定理。（4）同構。
2、深刻理解：（1）線性空間定義中的八條公理。（2）直和的判定條件。
（3）簡單應用：判斷子空間的和是直和。
（二）歐幾里得空間
1、熟練掌握：（1）歐幾里得空間及其相關概念。（2）正交變換及正交矩陣的概念。
2、深刻理解：（1）施密特正交化方法。（2）正交變換的判定條件和性質。（3）正交矩陣的判定條件和性質。
3、簡單應用：（1）把線性無關向量變?yōu)闃藴收幌蛄拷M。（2）判斷線性變換的正交性。（3）判斷矩陣的正交性。（4）掌握歐氏空間中向量的度量性質。
第六部分  線性變換
一、考核知識點
1、線性空間的基變換
2、線性變換的矩陣的化簡
二、考核要求
（一）線性空間的基變換
1、熟練掌握：過渡矩陣、相似矩陣的概念。
2、深刻理解：基變換對坐標的影響和對線性變換矩陣的影響。
3、簡單應用：（1）正確使用坐標變換公式。（2）掌握線性變換的矩陣受基變換的影響。
（二）線性映射及矩陣
1、熟練掌握：（1）線性映射。（2）線性映射的運算。（3）矩陣的運算。
2、深刻理解：（1）線性映射及矩陣的運算規(guī)律。（2）線性映射與矩陣的對應關系。
3、簡單應用：（1）線性映射的運算和矩陣的運算。（2）處理相關矩陣的某些問題。
（三）線性變換矩陣的化簡
1、熟練掌握：特征值、特征向量、特征多項式、不變子空間、特征子空間等概念。
2、深刻理解：線性變換的矩陣的化簡思想與方法。
3、簡單應用：（1）判斷具體線性變換是否可以對角化。（2）處理有關特征值、特征向量、不變子空間的一些問題。
第七部分  二次型
一、考核知識點
1、二次型基本性質
2、二次型的標準形
3、正定二次型
二、考核要求
1、熟練掌握：二次型及相關概念。
2、深刻理解：二次型的化簡。
3、簡單應用：（1）化二次型為標準形。（2）判斷具體實二次型的正定性。
第八部分  多項式矩陣
一、考核知識點
1、多項式矩陣
2、若爾當典范形理論
二、考核要求
（一）多項式矩陣
1、熟練掌握：（1）多項式矩陣。（2）初等變換與初等多項式矩陣。（3）多項式矩陣的正規(guī)形。
2、深刻理解：初等多項式矩陣的意義。
3、簡單應用：化多項式矩陣為正規(guī)形。
（二）若爾當典范形理論
1、熟練掌握：（1）行列式因子。（2）不變因子。（3）初等因子。
2、深刻理解：（1）行列式因子、不變因子、初等因子之間的關系。（2）矩陣相似的判定條件。
3、簡單應用：化矩陣為若爾當典范形。
參考書目：高等代數，北京大學數學系代數小組編，高等教育出版社，2019年5月，第五版。
 

遼寧師范大學

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