初試自命題科目考試大綱格式

    招生單位名稱（蓋章）：數(shù)學(xué)學(xué)院填表人：

    科目代碼科目名稱參考書目考試大綱是否使用計(jì)算器備注

    643數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(上、下冊，第四版)，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社出版。一、考試目的與要求

    掌握函數(shù)概念及性質(zhì)、數(shù)列極限的概念及計(jì)算；掌握實(shí)數(shù)基本定理、函數(shù)極限概念理論及計(jì)算；掌握函數(shù)連續(xù)性概念、理論；掌握導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義及計(jì)算；掌握一元函數(shù)中值定理及應(yīng)用；掌握不定積分計(jì)算、定積分計(jì)算及應(yīng)用；掌握數(shù)值級數(shù)審斂法、反常積分審斂法；掌握函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂概念和判別方法；掌握冪級數(shù)基本概念、基本性質(zhì)和基本理論；了解傅里葉級數(shù)基本概念、基本性質(zhì)和基本理論；多元函數(shù)的極限與連續(xù)；多元函數(shù)微分學(xué)；了解隱函數(shù)定理；掌握含參變量積分、變限積分和線面積分。

    二、考試范圍

    1.函數(shù)：實(shí)數(shù)概述，區(qū)間與鄰域，函數(shù)概念，有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)和偶函數(shù)，周期函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，基本初等函數(shù)，初等函數(shù)。

    2.數(shù)列極限：數(shù)列極限定義，收斂數(shù)列的性質(zhì)及運(yùn)算，單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理，兩個重要極限。

    3.實(shí)數(shù)的基本定理：確界存在定理，區(qū)間套定理，Cauchy準(zhǔn)則，聚點(diǎn)原理，有限覆蓋定理，上下極限。

    4.函數(shù)極限：極限定義、性質(zhì)，Heine定理，單側(cè)極限，Cauchy準(zhǔn)則，無窮小量及其階的比較，記號o，O，～，廣義極限，無窮大量及其階的比較。

    5.函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性，單側(cè)連續(xù)，間斷點(diǎn)及其分類，函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)的局部有界性，保號性，有理運(yùn)算。復(fù)含函數(shù)連續(xù)性，有齊閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，反函數(shù)連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。

    6.導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)定義，單側(cè)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，無窮大導(dǎo)數(shù)，和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；微分概念，微分的幾何意義，微分的運(yùn)算法則，一階微分形式的不變性，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，高階導(dǎo)數(shù)與高階微分，由參量方程所表示的曲線的斜率。7.中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：費(fèi)馬(Fermat)定理，羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗日型余項(xiàng))，近似計(jì)算，函數(shù)單調(diào)性的判別法，極值，最大值與最小值，曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線，函數(shù)圖象的討論，羅比塔(L′Hospital)法則。

    8.不定積分：原函數(shù)與不定積分概念，基本積分表，線性運(yùn)算法則，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式的積分，幾種無理函數(shù)的積分.

    9.定積分：定積分定義，幾何意義，可積的必要條件，上和、下和及其性質(zhì)，可積的充要條件，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)、在閉區(qū)間只有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)、單調(diào)有界函數(shù)的可積性，定積分性質(zhì)，微積分學(xué)基本定理，牛頓—萊布尼茨公式，換元積分法，分部積分法，近似計(jì)算。

    10.定積分的應(yīng)用：簡單平面圖形面積，曲線的弧長與弧微分，曲率，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體積與側(cè)面積，平均值，物理應(yīng)用(壓力、功、靜力矩與重心等)。

    11.數(shù)項(xiàng)級數(shù)：級數(shù)收斂與和的定義，柯西準(zhǔn)則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)，正項(xiàng)級數(shù)，比較原則，比式判別法與根式判別法，拉貝(Raabe)判別法與高斯判別法，一般項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，交錯級數(shù)，萊不尼茨判別法，阿貝爾(Abel)判別法與狄利克雷(Dirichlet)判別法，絕對收斂級數(shù)的重排定理，條件收斂級數(shù)的黎曼(Riemann)定理。

    12.反常積分：無窮限反常積分概念，柯西準(zhǔn)則，線性運(yùn)算法則，絕對收斂，反常積分與數(shù)項(xiàng)級數(shù)的關(guān)系，無窮限反常積分收斂性判別法。

    無界函數(shù)反常積分概念，無界函數(shù)反常積分收斂性判別法。

    13.函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的維爾斯特拉斯(Weierstrass)優(yōu)級數(shù)判別法，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法*，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和的連續(xù)性，逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分。

    14.冪級數(shù)：阿貝爾第一定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，一致收斂性，收斂性，連續(xù)性逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分冪級數(shù)的四則運(yùn)算。泰勒級數(shù)，泰勒展開的條件，初等函數(shù)的泰勒展開近似計(jì)算，用冪級數(shù)定義正弦、余弦函數(shù)。

    15.傅里葉(Fourier)級數(shù)：三角級數(shù)，三角函數(shù)系的正交性，傅里葉級數(shù)、貝塞爾(Bessel)不等式，黎曼—勒貝格(Riemann-lebesgue)定理，傅里葉級數(shù)的部分和公式，按段光滑且以2π為周期的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的收斂定理，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)，以2L為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

    16.多元函數(shù)的極限與連續(xù)：平面點(diǎn)集概念(鄰域、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、開集、閉集、開域、閉域等)。平面點(diǎn)集的基本定理—區(qū)域套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理。二元函數(shù)概念。二重極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。n維空間與n元函數(shù)(距離、三角形不等式、極限、連續(xù)等)。

    17.多元函數(shù)的微分學(xué)：偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，方向?qū)?shù)與梯度，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式的不變性，高階導(dǎo)數(shù)及其與順序無關(guān)性，高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)極值。

    18.隱函數(shù)定理的及其應(yīng)用：隱函數(shù)概念，隱函數(shù)定理，隱函數(shù)求導(dǎo)。

    隱函數(shù)組概念，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式，函數(shù)相關(guān)。幾何應(yīng)用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。

    19．含參量積分：含參量積分概念，連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換。含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準(zhǔn)則，維爾斯特拉斯判別法，連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換，Γ函數(shù)與B函數(shù)。

    20.重積分：平面圖形面積，二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計(jì)算(化為累次積分)，二重積分的換元法(極坐標(biāo)變換與一般變換)。三重積分定義與計(jì)算，三重積分的換元法(柱坐標(biāo)變換、球坐標(biāo)變換與一般變換)。重積分應(yīng)用(體積，曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動慣量等)。n重積分。無界區(qū)域上及無界函數(shù)反常二重積分的收斂性概念。

    21.曲線積分與曲面積分：第一型和第二型曲線積分概念與計(jì)算，格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)條件。曲面的側(cè)，第一型和第二型曲面積分概念與計(jì)算，奧斯特羅格拉特斯基一高斯公式，斯托克斯公式、場論初步(場的概念，梯度、散度、旋度）。

    三、試題結(jié)構(gòu)

    1.考試時間：3小時

    2.試題類型：選擇題15%，填空題15%，計(jì)算題30%，證明題40%否

    要求：1.參考書目應(yīng)盡量考慮通用性和出版時間（出版時間不宜太早，以方便考生購買）；非正式出版物以及正在出版過程中的書不能作參考書；參考書應(yīng)注明書名、編著者、出版社、出版年份等。如：《高級英語》（修訂版）第１、２冊，張漢熙主編，外國教學(xué)與研究出版社，２０００年；

    2.請標(biāo)注是否允許考生使用無字典存儲、編程和查詢功能的計(jì)算器，如不標(biāo)注理解為不允許使用計(jì)算器；繪圖及其他科目考試時如有其他說明的請?jiān)?ldquo;備注”欄內(nèi)標(biāo)明。

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