中南民族大學(xué)2021年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱

    科目名稱：高等代數(shù)科目代碼：858

    適用學(xué)科（數(shù)學(xué)）專業(yè)（應(yīng)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制論）

    ………………………………………………………………………一、考試性質(zhì)

    《高等代數(shù)》考試是為中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院招收數(shù)學(xué)學(xué)科（含應(yīng)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制論兩個專業(yè)）的碩士研究生而設(shè)置的具有選拔性質(zhì)的入學(xué)考試科目，其目的是科學(xué)、公平、有效地測試考生掌握《高等代數(shù)》中基礎(chǔ)知識、基本理論、基本方法的水平和分析問題、解決問題的能力。評價標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置為數(shù)學(xué)學(xué)科優(yōu)秀本科畢業(yè)生能達(dá)到及格及及格以上水平，有利于中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院擇優(yōu)選拔，確保碩士研究生的招生質(zhì)量。

    二、考查目標(biāo)

    要求考生系統(tǒng)掌握《高等代數(shù)》中的基本知識、基本理論和基本方法，能夠運(yùn)用所學(xué)的基本知識、基本理論和基本方法分析、判斷和解決有關(guān)理論問題和實(shí)際問題。

    三、考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

    1.本試卷滿分為（150）分，考試時間為（3）小時

    2.考試方式為閉卷、筆試。

    3.試卷考查的題型及其比例

    計算題（約60%）、證明題（約30%）、敘述題（主要敘述一

    些基本概念及其相關(guān)的性質(zhì)、概念間的聯(lián)系與區(qū)別，約10%）四、考查內(nèi)容

    第一部分：多項(xiàng)式理論一、考試內(nèi)容：

    1.數(shù)域,一元多項(xiàng)式的定義和基本運(yùn)算；

    2.多項(xiàng)式的帶余除法，多項(xiàng)式整除性理論；

    3.多項(xiàng)式的最大公因式，輾轉(zhuǎn)相除法；

    4.不可約多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的唯一因式分解定理，多項(xiàng)式的重因式；

    5.多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根；

    6.代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式；

    7.有理數(shù)域上的多項(xiàng)式，Eisenstein判別法。二、考試要求：

    1.理解數(shù)域、多項(xiàng)式相關(guān)的基本概念；

    2.掌握多項(xiàng)式相關(guān)的運(yùn)算及其性質(zhì)；

    3.掌握帶余除法、輾轉(zhuǎn)相除法、Eisenstein判別法；

    4.掌握不同數(shù)域中多項(xiàng)式的性質(zhì)；

    5.掌握多項(xiàng)式互素的性質(zhì)、多項(xiàng)式的重因式與多項(xiàng)式的根的關(guān)系及其應(yīng)用。

    第二部分：行列式一、考試內(nèi)容：

    1.n階行列式的定義；

    2.n階行列式的性質(zhì)和計算；

    3.余子式、代數(shù)余子式；

    4.克萊姆法則。二、考試要求：

    1.理解n階行列式、余子式、代數(shù)余子式相關(guān)的概念；

    2.掌握多n階行列式的性質(zhì)并能利用這些性質(zhì)計算行列式；

    3.掌握克萊姆法則的應(yīng)用。第三部分：線性方程組

    一、考試內(nèi)容：

    1.線性方程組求解的消元法；

    2.矩陣的秩，用矩陣的初等變換求秩；

    3.線性方程組有解的判別法。二、考試要求：

    1.掌握矩陣的秩及其計算；

    2.掌握線性方程組的有解判別并求解。第四部分：矩陣

    一、考試內(nèi)容：

    1.矩陣的運(yùn)算；

    2.初等變換，可逆矩陣，矩陣的等價關(guān)系，矩陣可逆的判定條件及性質(zhì)；

    3.矩陣乘積的行列式與秩；

    4.分塊矩陣。二、考試要求：

    1.掌握矩陣的運(yùn)算；

    2.掌握矩陣逆的計算；

    3.掌握矩陣的秩與矩陣的行列式的關(guān)系；

    4.掌握矩陣方程的求解。第五部分：二次型

    一、考試內(nèi)容：

    1.二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關(guān)系；

    2.實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域上的二次型；

    3.正定二次型與正定矩陣，實(shí)對稱矩陣正定的判定條件。二、考試要求：

    1.掌握二次型與對稱矩陣的對應(yīng)關(guān)系；

    2.掌握二次型的化簡；

    3.掌握二次型正定性的判定。第六部分：向量空間

    一、考試內(nèi)容：

    1.向量空間的定義和例子；

    2.向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)性，向量組的極大無關(guān)組；

    3.向量空間的基與維數(shù)，過渡矩陣及坐標(biāo)變換公式；

    4.子空間、子空間的交與和；

    5.向量空間的同構(gòu)及其性質(zhì)；

    6.齊次線性方程組的解空間與基礎(chǔ)解系。二、考試要求：

    1.理解向量空間的定義及其基本性質(zhì)；

    2.掌握向量組的線性相關(guān)性的判定；

    3.掌握向量空間的基與維數(shù)，過渡矩陣及坐標(biāo)等的求解方法；

    4.掌握子空間的交與和、不子空間、向量空間同構(gòu)的性質(zhì)。第七部分：線性變換

    一、考試內(nèi)容：

    1.線性映射和線性變換的定義及例子；

    2.線性變換的運(yùn)算、線性變換的矩陣、矩陣的相似；

    3.線性變換的值域與核、不變子空間及其性質(zhì)；

    4.方陣的特征值和特征向量；

    5.矩陣的對角化；

    6.Cayley-Hamilton定理、最小多項(xiàng)式。二、考試要求：

    1.理解線性變換的定義及其基本性質(zhì)；

    2.掌握線性變換的運(yùn)算及其性質(zhì)，線性變換的矩陣的計算方法；

    3.掌握線性變換的值域與核的求解方法；

    4.掌握方陣的特征值和特征向量的計算及其在矩陣的對角化中的應(yīng)用；

    5.Cayley-Hamilton定理在矩陣多項(xiàng)式化簡、最小多項(xiàng)式等方面的應(yīng)用。

    第八部分：歐氏空間一、考試內(nèi)容：

    1.向量的內(nèi)積和歐氏空間的定義、柯西-布涅柯夫斯基不等式；

    2.正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基、Schmidt正交化方法；

    3.正交變換與正交矩陣；

    4.實(shí)對稱矩陣及其相關(guān)性質(zhì)；

    5.向量到子空間的距離。二、考試要求：

    1.理解向量的內(nèi)積和歐氏空間的定義及其基本性質(zhì)；

    2.掌握Schmidt正交化方法；

    3.掌握正交變換、實(shí)對稱矩陣、正交矩陣及其相關(guān)性質(zhì)；

    4.掌握柯西-布涅柯夫斯基不等式的不同表現(xiàn)形式。五、參考書目

    1.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社，2013年8

    月，第四版。

    2.西北工業(yè)大學(xué)出版社：《高等代數(shù)考研教案》，2009年7月。六、特殊說明

    本自命題考試科目無需計算器。

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