2022陜西科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析碩士研究生考研考試大綱及參考書目
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2022陜西科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析碩士研究生考研考試大綱及參考書目 正文
一、考試形式和試卷結(jié)構(gòu)1、試卷滿分及考試時間
本試卷滿分為150分,考試時間為180分鐘。
2、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
3、試卷題型結(jié)構(gòu)
(1)計算題 80 分
(2)證明題 70分
二、考試范圍
第一章 實數(shù)集與函數(shù)
1. 運用實數(shù)的有序性、稠密性及封閉性論證有關(guān)問題,鄰域概念的理解及應(yīng)用;
2. 實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)及幾個常見不等式的應(yīng)用;
3. 實數(shù)集確界的概念及確界原理在有關(guān)問題中的正確運用;
4. 函數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)和初等函數(shù)等概念理解和運用;
5. 基本初等函數(shù)定義、性質(zhì)及圖象的識記,會求初等函數(shù)定義域,分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。
第二章 數(shù)列極限
1. 會用ε—N定義證明數(shù)列極限有關(guān)問題,并會用ε—N語言正確表述數(shù)列不以某數(shù)為極限;
2. 理解收斂數(shù)列的性質(zhì),極限的唯一性、保號性及不等式性質(zhì);
3. 會用極限的四則運算法則,迫斂性定理以及單調(diào)有界定理求收斂數(shù)列的極限;
4. 理解柯西準則在極限理論中的重要意義,能用該準則判定某些簡單數(shù)列的斂散性。
第三章 函數(shù)極限
1. 能運用函數(shù)極限定義證明與函數(shù)極限有關(guān)的某些命題,會給出函數(shù)不以某定數(shù)為極限的相應(yīng)表述;
2. 掌握函數(shù)極限基本性質(zhì):唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)及有理運算性質(zhì);
3. 理解Heine定理及Cauchy準則,初步掌握運用它們證明函數(shù)極限存在的基本思路;
4. 識記兩個重要極限,能靈活運用其求一些相關(guān)函數(shù)極限;
5. 理解無窮小(大)量及其階的概念,會用無窮小量求某些函數(shù)的極限,無窮小(大)量階的比較。
第四章 函數(shù)的連續(xù)性
1. 明確函數(shù)在一點連續(xù)定義的幾種等價敘述;
2. 會熟練準確地求出一般初等函數(shù)或分段函數(shù)的間斷點并判別其類型;
3. 理解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),并能在相關(guān)問題的討論中正確運用這些重要性質(zhì);
4. 深刻理解初等函數(shù)的連續(xù)性,應(yīng)用連續(xù)性求極限;
5. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),理解其幾何意義,并能在各種有關(guān)具體問題中加以運用;
6. 理解一致連續(xù)的概念,能認識到函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。
第五章 導(dǎo)數(shù)與微分
1. 利用定義法求函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù);導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別,可導(dǎo)的充要條件,可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,求曲線上一點處的切線方程,用導(dǎo)數(shù)概念解決相關(guān)變化率的實際應(yīng)用問題;
2. 熟記各類基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式,綜合運用求導(dǎo)的法則和方法熟練計算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù);
3. 理解函數(shù)微分的概念,用定義求簡單函數(shù)的微分,運用基本公式和微分法則求初等函數(shù)的微分;
4. 導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系,增量與微分的關(guān)系,用微分作近似計算;
5. 理解高階導(dǎo)數(shù)與高階微分概念,明確二者的聯(lián)系,會求高階導(dǎo)數(shù)與高階微分,理解一階微分形式的不變性并用其求復(fù)合函數(shù)的微分。
第六章 微分中值定理及應(yīng)用
1. 利用中值定理證明有關(guān)函數(shù)微分學(xué)的命題;
2. 用洛比塔法則求不定式的極限;
3. 討論函數(shù)及曲線性態(tài),用導(dǎo)數(shù)作函數(shù)圖象;
4. 求解有關(guān)最大(小)值的應(yīng)用問題;
5. 用中值定理及單調(diào)性證明不等式,方程根的存在個數(shù)及分布討論。
第七章 實數(shù)的完備性
1. 區(qū)間套、聚點、確界、覆蓋、子列及一致連續(xù)等概念的理解;求點集的聚點、確界;
2. 對實數(shù)基本定理的理解和準確表述,明確其等價性;
3. 應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)討論函數(shù)的有界性、最值性、證明方程根的存在性。
第八章 不定積分
1. 原函數(shù)與不定積分的關(guān)系及其幾何意義;積分與微分的關(guān)系;
2. 熟記基本積分公式,用線性運算法則求不定積分;
3. 用換元積分法和分部積分法或綜合運用這幾種方法求不定積分;
4. 有理函數(shù)的積分法,用適當變換求三角函數(shù)有理式、簡單無理函數(shù)的積分;
5. 明確初等函數(shù)在定義區(qū)間存在原函數(shù),但其原函數(shù)不一定是初等函數(shù)的結(jié)論。
第九章 定積分
1. 理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎(chǔ)上會用定義求簡單函數(shù)的定積分;
2. 明確可積的必要條件、充要條件及可積函數(shù)類;
3. 熟練地應(yīng)用定積分的性質(zhì)進行積分的計算,積分值的大小比較、求平均值及有關(guān)證明;
4. 用微積分學(xué)基本定理及牛頓——萊布尼茲公式進行有關(guān)積分的證明和計算;變限積分的求導(dǎo)法則及應(yīng)用;
5. 用換元積分法和分布積分法計算定積分。
第十章 定積分的應(yīng)用
1. 用定積分解決某些幾何應(yīng)用問題:平面圖形面積、平面曲線的弧長、一些特殊立體的體積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積等的計算;
2. 用微元法的思想及定積分計算一些物理上的應(yīng)用問題:液體靜壓力、引力及功和平均功率。
第十一章 反常積分
1. 用比較法、Cauchy法判別無窮限積分的收斂性;
2. 瑕積分中瑕點的確定及收斂性判別;
3. 收斂的反常積分的計算。
第十二章 數(shù)項級數(shù)
1. 級數(shù)斂散性的概念及收斂級數(shù)性質(zhì)的理解和運用;
2. 用定義、性質(zhì)及收斂的必要條件判別級數(shù)的斂散性;
3. 用比較法、比式法、根式法、積分法判別正項級數(shù)斂散性;
4. 用萊布尼茲判別法判斷交錯級數(shù)的斂散性;
5. 用Abel及Dirichlet判別法判斷某些級數(shù)的斂散性。
第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)
1. 函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念和性質(zhì)的理解與掌握;
2. 函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別;
3. 掌握一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)表示的函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性,并用這些性質(zhì)去解決有關(guān)問題。
第十四章 冪級數(shù)
1. 求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域;
2. 熟記幾個常用初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,并利用其將某些初等函數(shù)展開成冪級數(shù);
3. 用冪級數(shù)的性質(zhì)及逐項求導(dǎo)和逐項積分求某些冪級數(shù)的和函數(shù);
4. 明確函數(shù)冪級數(shù)展開的條件及求函數(shù)冪級數(shù)展開式的一般步驟。
第十五章 傅里葉級數(shù)
1. 熟練地將以2π為周期的函數(shù)展成Fourier級數(shù),并應(yīng)用收斂定理求級數(shù)在指定點的和;
2. 將2π為周期的函數(shù)展成Fourier級數(shù),會求函數(shù)的正弦級數(shù)和余弦級數(shù);
3. 準確表述收斂性定理,知道其證明主要思路。
第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)
1. 理解平面點集的有關(guān)概念,求函數(shù)的定義域并繪圖表示;
2. 理解并掌握二元函數(shù)極限概念,明確重極限與累次極限的關(guān)系,能借助累次極限解決極限有關(guān)問題;說明二元函數(shù)極限不存在的常用方法的應(yīng)用;
3. 理解二元函數(shù)連續(xù)的概念,會利用連續(xù)性求初等函數(shù)的極限,掌握有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)
1. 深刻理解全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念及聯(lián)系,用定義討論函數(shù)的可微性;
2. 用定義求函數(shù)在指定點的偏導(dǎo)數(shù);
3. 熟練運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算各階偏導(dǎo)數(shù);
4. 函數(shù)的可微、連續(xù)、偏導(dǎo)存在與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間關(guān)系;
5. 求空間曲線的切線和法平面;曲面的切平面和法線;
6. 能寫出簡單二元函數(shù)的Taylor公式或Maclaurin公式;
7. 求二元函數(shù)的極值及一些簡單的最大(小)值應(yīng)用問題。
第十八章 隱函數(shù)定理及應(yīng)用
1. 求隱函數(shù)及隱函數(shù)組的導(dǎo)數(shù);
2. 明確隱函數(shù)及隱函數(shù)組存在唯一性及可微性條件;
3. 隱函數(shù)理論在幾何上的應(yīng)用,求曲線切線、法線(法平面)、求曲面的切平面和法線;
4.用Lagrange乘數(shù)法求條件極值。
第十九章 含參量積分
1. 分析、論證含參量積分定義的函數(shù)的連續(xù)性,可微性或可積性;
2. 判別含參量反常積分一致收斂性;
3. 用對參量的積分、微分、極限等運算求定積分或反常積分;
4. Γ函數(shù)及B函數(shù)的定義、關(guān)系及遞推公式的應(yīng)用。
第二十章 曲線積分
1. 熟練運用兩類曲線積分的計算法求曲線積分;
2. 用曲線積分的幾何意義及物理意義解決有關(guān)應(yīng)用問題。
第二十一章 重積分
1. 直角坐標系下計算二重積分及二次積分交換順序;
2. 利用變量替換公式簡化二重積分計算,特別是利用極坐標變換計算二重積分;
3. 應(yīng)用Green公式計算第二型曲線積分,及用第二型曲線積分計算平面圖形面積;用曲線積分法求全微分式的原函數(shù);
4. 化三重積分為累次積分,用柱面坐標和球面坐標計算三重積分。
第二十二章 曲面積分
1. 第一、二型曲面積分的計算;
2. 應(yīng)用Gauss公式和stokes公式計算曲面積分及空間曲線積分;
3. 應(yīng)用曲面積分解決有關(guān)幾何及物理應(yīng)用問題;
4. 空間曲線積分與路線無關(guān)的條件,用曲線積分法求全微分式的原函數(shù)。
三、主要參考書
[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系, 數(shù)學(xué)分析(上、下冊), 高等教育出版社, 2001年, 第3版
[2] 陳紀修, 於崇華, 金路, 數(shù)學(xué)分析(上、下冊), 高等教育出版, 2004年, 第2版
[3] 裴禮文, 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法, 高等教育出版社, 1993年, 第1版
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