2022陜西科技大學(xué)高等數(shù)學(xué)碩士研究生考研考試大綱及參考書目 正文

考核要點(diǎn)
第一章    函數(shù)、極限、連續(xù)
基本要求：
    1.在中學(xué)已有函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，加深對(duì)函數(shù)概念的理解和函數(shù)性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性）的了解。
    2.理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念。
    3.會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。
    4.理解極限的概念，了解極限的 定義。
    5.熟練掌握極限的有理運(yùn)算法則，會(huì)用變量代換求某些簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的極限。
    6.了解極限的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性）和兩個(gè)存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則與單調(diào)有界準(zhǔn)則），會(huì)用兩個(gè)重要極限 與 求極限。
    7.了解無(wú)窮小、無(wú)窮大、高階無(wú)窮小和等價(jià)無(wú)窮小的概念，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。
    8.理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一區(qū)間上連續(xù)的概念。
    9.了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型。
10.了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理與最大值、最小值定理。
本章重點(diǎn)：極限概念，極限的四則運(yùn)算法則，利用兩個(gè)重要極限求極限 , 函數(shù)的連續(xù)性。
本章難點(diǎn)：極限的定義，極限存在準(zhǔn)則。
第二章    導(dǎo)數(shù)與微分
基本要求：
    1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（不要求學(xué)生做利用導(dǎo)數(shù)的定義研究抽象函數(shù)可導(dǎo)性的習(xí)題），了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
    2.了解導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實(shí)際意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)表達(dá)科學(xué)技術(shù)中一些量的變化率。
    3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的有理運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。
    4.理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部線性化思想，了解微分的有理運(yùn)算法則和一階微分形式不變性。
    5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，熟練掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法（不要求學(xué)生求函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式）。
6.會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)以及這兩類函數(shù)中比較簡(jiǎn)單的二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)解一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的相關(guān)變化率問(wèn)題。
本章重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義，初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法（一階及二階）。
本章難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，高階導(dǎo)數(shù)的求法。
第三章    中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
基本要求：
1.理解羅爾（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理（對(duì)三個(gè)定理的分析證明不作要求，并且不要求學(xué)生掌握構(gòu)造輔助函數(shù)證明相關(guān)問(wèn)題的技巧），會(huì)用洛必達(dá)（L'Hospital）法則求不定式的極限。
   2.了解泰勒（Taylor）定理以及用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的思想（對(duì)定理的分析證明以及利用泰勒定理證明相關(guān)問(wèn)題不作要求）。
   3.理解函數(shù)的極值概念，熟練掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。會(huì)求解較簡(jiǎn)單的最大值與最小值的應(yīng)用問(wèn)題。
4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)描繪一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形（包括水平和鉛直漸近線）。
5.了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。
6.了解求方程近似解的二分法和切線法的思想。
本章重點(diǎn)：羅爾定理，拉格朗日定理， 洛必達(dá) 法則，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值。
本章難點(diǎn)：泰勒定理。
第四章    不定積分
基本要求：
1.理解原函數(shù)概念，理解不定積分的概念及性質(zhì)。
2.熟練掌握不定積分的基本公式、換元法、分部積分法（對(duì)待定系數(shù)法分解，不作過(guò)高要求）。
本章重點(diǎn)：不定積分的換元積分法、分部積分法。
本章難點(diǎn)： 換元積分法.
第五、六章    定積分及其應(yīng)用
基本要求：
1.理解定積分的概念和幾何意義（對(duì)于利用定積分定義求定積分與求極限不作要求），了解定積分的性質(zhì)和積分中值定理。
2.理解原函數(shù)與不定積分的概念，理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，熟練掌握牛頓（Noewton）－萊布尼茲（Leibniz）公式。
3.掌握定積分的換元法與分部積分法。
4.掌握科學(xué)技術(shù)問(wèn)題中建立定積分表達(dá)式的元素法（微元法），會(huì)建立某些簡(jiǎn)單幾何量和物理量的積分表達(dá)式。
5.了解兩類反常積分及其收斂性的概念。
6.了解定積分的近似計(jì)算法（梯形法和拋物線法）的思想。
本章重點(diǎn)：定積分的換元積分法、分部積分法，變上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓 – 萊布尼茲公式。
本章難點(diǎn)： 換元積分法。
第七章   微分方程
基本要求：
1.了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念。
2.掌握變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法。
3.會(huì)解齊次方程，并從中領(lǐng)會(huì)用變量代換求解微分方程的的思想。
4.會(huì)用降階法求下列三種類型的高階方程：  ， 。
5.理解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。
6.熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。
7.會(huì)求自由項(xiàng)形如 ， 的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解，其中 為實(shí)系數(shù) 次多項(xiàng)式， 為實(shí)數(shù)。
8.會(huì)通過(guò)建立微分方程模型，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
本章重點(diǎn)：
可分離變量及一階線性微分方程的解法，二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法， 自由項(xiàng)為   的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的求法。
本章難點(diǎn)：
伯努利方程和全微分方程的解法， 自由項(xiàng)為  的二階常系數(shù)非
齊次線性微分方程特解的求法 。
第八章    空間解析幾何與向量代數(shù)
基本要求：
1.理解空間直角坐標(biāo)系,理解向量的概念及其表示。
2.熟練掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。
3.掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。
4.熟練掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。
5.理解二次曲面方程的概念，了解空間曲線方程的概念。
6.了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。
7. 了解曲面的交線在坐標(biāo)平面上的投影批；了解二次曲面的分類。
本章重點(diǎn)：空間直線、平面方程，常用的二次曲面方程。
本章難點(diǎn)：曲面方程。
第九章     多元函數(shù)微分學(xué)
基本要求：
1.理解二元函數(shù)的概念，了解多元函數(shù)的概念。
    2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
    3.理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。
4.了解一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算方法。
    5.了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。
    6.熟練掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。
    7.會(huì)求隱函數(shù)（包括由兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組確定的隱函數(shù)）的一階偏導(dǎo)數(shù)（對(duì)求二階偏導(dǎo)數(shù)不作要求）；了解曲線的切線和法平面以及曲面的切平面與法線，并會(huì)求出它們的方程。
8.理解二元函數(shù)極值與條件極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值，了解求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，會(huì)求解一些比較簡(jiǎn)單的最大值與最小值的應(yīng)用問(wèn)題。
本章重點(diǎn)：
二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，二元函數(shù)的極值，拉格朗日乘數(shù)法。
本章難點(diǎn)：
復(fù)合函數(shù)（抽象函數(shù)）、隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)求法，方向?qū)?shù)與梯度的概念，拉格朗日乘數(shù)法。
第十章    重積分
基本要求：
1.理解二重積分的概念，了解三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)。
2.熟練掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)，球面坐標(biāo)）。
3.會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、立體的體積、曲面面積、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）
本章重點(diǎn)：二重積分和三重積分的計(jì)算方法，兩類曲線、曲面積分的概念及計(jì)算，格林公式，高斯公式。
本章難點(diǎn)：
三重積分在直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。第二類曲線、曲面積分，高斯公式，斯托克斯公式。
第十一章    曲線積分與曲面積分
基本要求：
1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系，會(huì)計(jì)算兩類曲線積分（對(duì)于空間曲線積分的計(jì)算只作簡(jiǎn)單訓(xùn)練）。
    2.掌握格林（Green）公式，會(huì)使用平面線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，了解第二類平面線積分與路徑無(wú)關(guān)的物理意義；了解兩類曲面積分的概念及其計(jì)算方法。
    4.了解高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式（斯托克斯公式的證明以及利用該公式計(jì)算空間曲線積分不作要求）。
    5.了解場(chǎng)、散度、旋度的概念和某些特殊場(chǎng)（無(wú)源場(chǎng)、無(wú)旋場(chǎng)與調(diào)和場(chǎng)），會(huì)計(jì)算散度與旋度。
6.了解科學(xué)技術(shù)問(wèn)題中建立重積分與曲線、曲面積分表達(dá)式的元素法（微元法），會(huì)建立某些簡(jiǎn)單的幾何量和物理量的積分表達(dá)式。
第十二章    無(wú)窮級(jí)數(shù)
基本要求：
1.理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。
2.了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法以及幾何級(jí)數(shù)與P-級(jí)數(shù)的斂散性，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。
3.了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。了解絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及二者的關(guān)系。
4.了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，掌握簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法。了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（對(duì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)只要求作簡(jiǎn)單訓(xùn)練）。
5.會(huì)利用  ， ， ，  與 的麥克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。
6.了解利用將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算的思想。
7.了解用三角函數(shù)逼近周期函數(shù)的思想，了解函數(shù)展開為傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)的狄利克雷（Dirichlet）條件，會(huì)將定義在 和 上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)會(huì)將定義在 上的函數(shù)展開為傅里葉正弦或余弦級(jí)數(shù)。
本章重點(diǎn)：
幾何級(jí)數(shù)、  級(jí)數(shù)的斂散性， 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，冪級(jí)數(shù)收斂半徑及收斂區(qū)間的求法，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法。
本章難點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，用間接法將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，泰勒級(jí)數(shù)。  

參考書目：《高等數(shù)學(xué)》(第七版)，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2014

陜西科技大學(xué)

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