2021年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目

考試大綱

考試階段：復(fù)試 科目滿(mǎn)分值：100

考試科目：實(shí)變函數(shù) 科目代碼：

考試方式：閉卷筆試 考試時(shí)長(zhǎng)：180分鐘

一、科目的總體要求

要求考生全面的、系統(tǒng)的、熟悉的掌握實(shí)變函數(shù)的基本知識(shí)和計(jì)算方法，掌握勒貝格測(cè)度與勒貝格積分。

二、考核內(nèi)容與考核要求

《實(shí)變函數(shù)》主要考核5個(gè)方面的內(nèi)容：集合、點(diǎn)集、測(cè)度、可測(cè)函數(shù)、Lebesgue積分。 能熟悉勒貝格積分的應(yīng)用，了解了貝格積分的創(chuàng)新思想，熟悉掌握勒貝格積分的計(jì)算。

（一）集合

內(nèi)容： 1、集合的概念和運(yùn)算  2、對(duì)等與基數(shù) 3、可數(shù)集合與不可數(shù)集合

要求：學(xué)生理解集合的概念和運(yùn)算；理解對(duì)等與基數(shù)的概念；理解可數(shù)集合與不可數(shù)集合的性質(zhì)；會(huì)證明集合性質(zhì)的常用方法。

（二）點(diǎn)集

內(nèi)容：1、度量空間和n維歐氏空間 2、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)和界點(diǎn)  3、開(kāi)集，閉集和完備集  4、直線(xiàn)上的開(kāi)集，閉集和完備集的構(gòu)造

要求：學(xué)生理解度量空間和n維歐氏空間的概念；理解內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)和界點(diǎn)的概念，掌握聚點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)定義；理解導(dǎo)集和閉包的概念；了解外點(diǎn)、孤立點(diǎn)、開(kāi)核和邊界的定義；理解開(kāi)集和閉集的概念，理解開(kāi)集和閉集之間的對(duì)偶關(guān)系，理解開(kāi)集和閉集的性質(zhì)；了解Heine-Borel有限覆蓋定理；了解緊集、自密集和完備集的定義；理解構(gòu)成區(qū)間與余區(qū)間的概念；會(huì)用直線(xiàn)上的開(kāi)集與閉集的構(gòu)造定理。

（三）測(cè)度

內(nèi)容:  1、外測(cè)度  2、  可測(cè)集  3、可測(cè)集類(lèi)

要求: 學(xué)生理解外測(cè)度與可測(cè)集的概念；掌握集合可測(cè)的幾個(gè)充要條件；理解可測(cè)集的性質(zhì)；了解一些常用的可測(cè)集，如零集，開(kāi)集、閉集、Borel集、型集、型集等；會(huì)可測(cè)集的一些常用證明方法。

（四）可測(cè)函數(shù)

內(nèi)容：1、可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)  2、葉果洛夫定理  3、可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造  4、依測(cè)度收斂

要求：理解可測(cè)函數(shù)的概念，掌握可測(cè)函數(shù)的幾個(gè)等價(jià)定義；理解可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)；了解簡(jiǎn)單函數(shù)的概念，了解可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系；理解幾乎處處收斂的概念，會(huì)用葉果洛夫定理；會(huì)用魯津定理；理解依測(cè)度收斂的概念，會(huì)用Riese定理。了解勒貝格定理。

  （五）勒貝格積分 

內(nèi)容：1、勒貝格積分的定義  2、勒貝格積分的性質(zhì)  3、 一般可

積函數(shù) 4、Riemann積分和勒貝格積分的關(guān)系  5、積分的極限定理

要求：理解勒貝格積分的概念，理解勒貝格積分的性質(zhì)；理解一般可積函數(shù)的定義及其性質(zhì)；會(huì)用勒貝格控制收斂定理；會(huì)用列維定理；會(huì)用Fatou引理；以及非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的幾何意義。

  三、題型結(jié)構(gòu)

考試滿(mǎn)分100分，其中選擇題約30分，計(jì)算題約30分，證明題約40分。

四、其它要求

具體考試時(shí)間以《準(zhǔn)考證》為準(zhǔn)。

 

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